Espaço de Banach

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Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições preliminares[editar | editar código-fonte]

Espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Sejam um conjunto não-vazio e uma métrica em , dizemos que o par (, ) é um espaço métrico.

Espaço vetorial normado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço vectorial sobre um corpo e uma norma de . O par (, ) é um espaço vetorial normado.

  • Um espaço normado (, ) pode ser considerado um espaço métrico (, ), basta definir a seguinte métrica
, para todo .

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo , resulta:

; •Se e , então , .

Para o caso de , temos: ;

;

.

Assim, todo espaço normado (, ) é um espaço métrico (, ), com sendo a métrica induzida pela norma . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

  • É possível mostrar também que se é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica , essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:

Sequência de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Uma sequência em um espaço métrico chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo dado, existe tal que implica .

Intuitivamente, à medida que o índice cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

Espaços métricos completos[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico é completo quando toda sequência de Cauchy em é convergente em .

  • Para mostrar que um espaço métrico não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em que não seja convergente.
  • O espaço métrico não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais convergindo para um número irracional . Por exemplo, com . Assim, é uma sequência de Cauchy no espaço métrico , mas não é convergente em .

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vectorial normado é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em é convergente em .

Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:

Desigualdade de Young[editar | editar código-fonte]

Dados tais que (dizemos que são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:

Desigualdade de Hölder[editar | editar código-fonte]

Dados conjugados de Hölder, vale a desigualdade:

Se definimos um produto coordenada a coordenada em da forma , podemos reescrever a desigualdade como:

Desigualdade de Minkowski[editar | editar código-fonte]

Dados , vale a desigualdade:

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. Se é espaço vetorial normado, e é subespaço vetorial, então é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço .
  2. Se é espaço de Banach e é subespaço vetorial, então é espaço de Banach se, e somente se, é fechado em .
  3. Para todo espaço vetorial normado , é possível estender a norma de forma que o completamento de , denotado , seja espaço vetorial normado completo, ou seja, é espaço de Banach.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

  • Nos espaços euclidianos , existem várias normas a se considerar que o tornam espaço de Banach:
    • , sendo a norma euclidiana usual.
    • , definindo, para , a norma .

Os espaços [editar | editar código-fonte]

Vendo que os espaços das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.

Tomemos então , e definamos o conjunto

, munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.

Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma

é possível verificar que é um espaço de Banach.

O espaço e seus subespaços[editar | editar código-fonte]

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo

e tomando a norma , temos que é espaço de Banach.

Definindo os subconjuntos de

Vemos que , sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços, e são espaços de Banach, com a norma herdada de .

O espaço vetorial normado não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em :

Verificamos que é convergente a , mas .

Espaço da transformações lineares entre espaços normados[editar | editar código-fonte]

Dados espaços normados , uma transformação é:

  • linear, se
  • contínua em , se .
  • contínua, se for contínua em todo .
  • limitada, se

É possível mostrar que são equivalentes:

  1. é contínua.
  2. é contínua no .
  3. é limitada.
  4. leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Definindo o conjunto e a norma , onde , é um espaço de Banach, contanto que seja de Banach.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
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