Espaço de Banach

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Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições preliminares[editar | editar código-fonte]

Espaços métricos[editar | editar código-fonte]

Sejam um conjunto não-vazio e uma métrica em , dizemos que o par (, ) é um espaço métrico.

Espaço vetorial normado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço vectorial sobre um corpo e uma norma de . O par (, ) é um espaço vetorial normado.

  • Um espaço normado (, ) pode ser considerado um espaço métrico (, ), basta definir a seguinte métrica
, para todo .

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo , resulta: •; •Se e , então , .

Para o caso de , temos: ;

; •.

Assim, todo espaço normado (, ) é um espaço métrico (, ), com sendo a métrica induzida pela norma . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

Sequência de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Uma sequência em um espaço métrico chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo dado, existe tal que implica .

Intuitivamente, à medida que o índice cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

Espaços métricos completos[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico é completo quando toda sequência de Cauchy em é convergente em .

  • Para mostrar que um espaço métrico não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em que não seja convergente.
  • O espaço métrico não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais convergindo para um número irracional . Por exemplo, com . Assim, é uma sequência de Cauchy no espaço métrico , mas não é convergente em .

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço vectorial normado é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em é convergente em .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
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