Espaço compacto

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Em matemática, mais especificamente em topologia geral, o conceito de compacidade é uma extensão topológica das ideias de finitude e limitação. O início do estudo de espaços compactos se deu no final do século XIX, pelas mãos de Émile Borel e Henri Lebesgue e as observações acerca de intervalos fechados e limitados da reta real. Com o advento de novas classes de espaços topológicos (espaços de funções, espaços definidos em termos de vizinhanças e espaços métricos) a noção de compacidade modificou-se para acompanhar as generalizações; passando por sequencialmente compacto, enumeravelmente compacto (Riesz - 1908, Vietoris - 1912, Janiszewski - 1913, Kuratowski, Sierpiński e Saks - 1921) e finalmente chegando na definição empregada hoje (Alexandrof e Urysohn - 1923).

Definição e Equivalências[editar | editar código-fonte]

Um recobrimento para um conjunto é uma coleção de subconjuntos de tal que . Um subrecobrimento de é uma coleção que também é um recobrimento de , i.e. .

Diz-se que um espaço topológico é compacto se possuir a propriedade de Hausdorff e qualquer recobrimento por abertos de admitir um subrecobrimento finito. O leitor deve estar atento que a escola americana define espaço compacto como espaços em que todo recobrimento por abertos (do espaço em questão) admite subrecobrimento finito, o que é chamado de quase-compacto. A definição usando a Espaço Hausdorff é uma característica das escolas francesa, polonesa e russa.

Uma família de subconjuntos de um conjunto possui a propriedade da intersecção finita (abreviadamente, p.i.f.) se, para qualquer finita, verificar . É passivo de verificação que, um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer família de fechados de com a p.i.f. possuir intersecção não vazia.

Uma base para um espaço topológico é uma coleção de abertos de tal que, para qualquer aberto , existe tal que . Uma subbase para é uma coleção não-vazia de abertos desse espaço tal que

é uma base de . É um resultado devido a James Waddell Alexander II que um espaço topológico é (quase-)compacto se, e somente se, qualquer recobrimento de por abertos de uma subbase desse espaço admitir um subrecobrimento finito.

Se é um espaço topológico, diz-se que um ponto é um ponto de acumulação total de um subconjunto se, dada qualquer vizinhança de , . É um resultado devido a Vietoris, Kuratowski, Sierpinski, Alexandroff e Urysohn que as seguintes afirmações são equivalentes

  • é compacto;
  • Qualquer subconjunto infinito de possui um ponto de acumulação completo;
  • Dada qualquer sequência transfinita -decrescente de fechados não-vazios de , a intersecção é não-vazia.

É um resultado devido a Kuratowski, Mrówka e Bourbaki que as seguintes afirmações, acerca do espaço , são equivalentes:

  • X é (quase-)compacto;
  • Para qualquer espaço a projeção é fechada;
  • Para qualquer espaço normal a projeção é fechada.

Em termos de convergência em um espaço Hausdorff , é possível observar a equivalência das seguintes afirmações:

  • é (quase-)compacto;
  • Qualquer filtro em admitir um ponto de acumulação;
  • Qualquer rede em admitir um ponto de acumulação.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer espaço finito é quase-compacto;
  • Qualquer espaço carregando topologia cofinita é quase-compacto.
  • A topologia de ordem direita e a topologia de ordem esquerda em um conjunto totalmente ordenado e limitado são (quase-)compactas.
  • Qualquer fechado e limitado de um espaço euclididano é compacto.
  • Qualquer compacto da Reta de Sorgenfrey é enumerável.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Qualquer fechado em espaço quase-compacto é quase-compacto;
  • Qualquer compacto é um espaço normal;
  • Todo subspaço compacto de um espaço Hausdorff é fechado;
  • Uma imagem contínua de espaços compactos é compacto.
  • Toda bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço Hausdorff é um homeomorfismo;
  • A união finita de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.
  • (Teorema de Tychonoff) O produto qualquer de espaços (quase-)compactos é (quase-)compacto.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN-10: 3885380064.
  • Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).

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