Continuidade uniforme

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Continuidade uniforme é um importante conceito matemático com numerosas aplicações sobretudo na análise real e na análise funcional.

Grosseiramente falando, uma função é dita contínua se suficientemente pequenas variações no domínio resultem em pequenas variações na imagem. Uma função é dita uniformemente contínua se "suficientemente pequeno" for independente do ponto inicial.

O conceito de continuidade uniforme é normalmente definido para funções entre dois espaços métricos, mas este conceito é muitas vezes generalizado para espaços vectoriais topológicos.

A continuidade uniforme é um conceito mais forte que o de continuidade e mais fraco que o de Lipschitz-continuidade (quando este se aplica).

Definição[editar | editar código-fonte]

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.[carece de fontes?] Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função y = φ(x) que, quando a variável independente x passa por todos os valores reais entre a e b, o valor de φ(x) nunca se torna infinito e cobre todos valores entre φ(a) e φ(b).[1] Esta definição é falsa.

Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre a e b, dados quaisquer valores x1 e x2 entre a e b, os valores de φ(x1) e φ(x2) devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ε um valor δ[Nota 1] tal que sempre que |x1 - x2| < δ, tem-se que |φ(x1) - φ(x2)| < ε.[Nota 2]

Para a função definida do espaço métrico para o espaço métrico , é dita uniformemente contínua se dado existe um tal que:

Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática:

A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim:

Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um para cada , enquanto que a continuidade uniforme exige um global, para todo .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços métricos com compacto e contínua então é uniformemente contínua.

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Tanner e Allen, em vez de δ, é utilizada a letra η.
  2. O texto de Tanner e Allen omite os símbolos de valor absoluto.

Referências

  1. John Henry Tanner e Joseph Allen, An Elementary Course in Analytic Geometry (1808), Part I, Chapter I, Introduction, Algebraic and Trigonometric Conceptions, 7. Continuous e discontinuous functions [google books]
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