Espaço métrico

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Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde podemos definir a distância entre quaisquer dois de seus elementos. Intuitivamente, estamos falando de conjuntos onde podemos medir distâncias, um espaço bastante familiar é o espaço euclidiano.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja X um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre X é uma função d:X \times X \to R que satisfaz as seguintes propriedades:

  1. d(x,y) \geq 0 \ \ \forall x,y \in X e d(x,y) = 0 \iff x = y
  2. d(x,y) = d(y,x) \ \ \forall x,y \in X
  3. d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \ \ \forall x,y,z \in X (essa propriedade é conhecida como (desigualdade triangular)

Então o par (X,d) é chamado espaço métrico.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto \mathbb{R} dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica d(x,y) = |x - y|
  • (\R^n,d), onde d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}, é o espaço de dimensão n\, com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
  • (\mathbb{R}^n,d) , onde d(x,y) = \max\{|x_1 - y_1|,...,|x_n - y_n|\} observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto X com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
  • (X,d)\,, onde d(x,y)= \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{se }x=y \\ 1, & \mbox{se }x\neq y \end{matrix} \right. é denominado de espaço métrico discreto.
  • Qualquer subconjunto A \subset Xde um espaço métrico X é um espaço métrico, basta considerar a restrição d|_{A \times A} \to \mathbb{R}
  • Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então d(f,g) = \max|f(x) - g(x)|\, torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação B(x, r)\, para representar a bola aberta de raio r, B(x, r) = \{ y \ | \ d(x, y) < r \} \,, podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

  • Um conjunto A é aberto quando \forall x \in A \ , \ \exists \epsilon > 0 \ , \ B(x, \epsilon) \subset A\,.
  • A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências[editar | editar código-fonte]

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