Espaço métrico

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Um conjunto munido de uma métrica é um espaço métrico; entre as muitas métricas possíveis encontra-se a métrica de Manhattan.

Em matemática, um espaço métrico é um conjunto onde podemos definir a distância entre quaisquer dois de seus elementos. Intuitivamente, estamos falando de conjuntos onde podemos medir distâncias, um espaço bastante familiar é o espaço euclidiano.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre é uma função que satisfaz as seguintes propriedades:

  1. e
  2. (essa propriedade é conhecida como (desigualdade triangular)

Então o par é chamado espaço métrico.

Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.

Exemplos de Espaços Métricos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica
  • , onde , é o espaço de dimensão com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
  • , onde observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
  • , onde é denominado de espaço métrico discreto.
  • Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico, basta considerar a restrição
  • Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação para representar a bola aberta de raio r, , podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:

  • Um conjunto A é aberto quando .
  • A topologia gerada pelas bolas abertas.

Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Coleção Projeto Euclides 5ª ed. IMPA [S.l.] p. 299. ISBN 978-85-244-0158-9. 
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