Conjunto aberto
Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.
Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto fechado, seu complementar é aberto e vice versa. Então é aberto se, e somente se, é fechado.
Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.
Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.
Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.
Demonstração: Dado e abertos, a união destes dois é . Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à ou à (possivelmente à ambos), se estiver em existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de , o mesmo para . Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de . Isso se generaliza para é aberto, se cada é aberto, ..
Definição
[editar | editar código-fonte]Espaços topológicos
[editar | editar código-fonte]Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia em um conjunto é definida como um subconjunto do conjunto das partes de (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de é chamado de um aberto ou conjunto aberto.
Espaços métricos
[editar | editar código-fonte]Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.[1] Ou seja, dado um espaço métrico , um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que a bola aberta ainda esteja contida em .[1]
Propriedades
[editar | editar código-fonte]- Em um espaço topológico ou espaço métrico , o conjunto vazio e o próprio conjunto são abertos.
- Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
- Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
- A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
- A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Abertos de
[editar | editar código-fonte]Como (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que .
Em , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.
Referências
- ↑ a b Ahlfors 1979, p. 51-52
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (3ª ed) (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill Book Company