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Conjunto aberto

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Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.

Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto fechado, seu complementar é aberto e vice versa. Então é aberto se, e somente se, é fechado.

Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.

Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.


Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.

Demonstração: Dado e abertos, a união destes dois é . Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à ou à (possivelmente à ambos), se estiver em existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de , o mesmo para . Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de . Isso se generaliza para é aberto, se cada é aberto, ..

Espaços topológicos

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Ver artigo principal: Espaço topológico

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia em um conjunto é definida como um subconjunto do conjunto das partes de (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

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Ver artigo principal: Espaço métrico

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos.[1] Ou seja, dado um espaço métrico , um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que a bola aberta ainda esteja contida em .[1]

  • Em um espaço topológico ou espaço métrico , o conjunto vazio e o próprio conjunto são abertos.
  • Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
  • Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
  • A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  • A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de

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Como (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto de é aberto se, para cada ponto , existe tal que .

Em , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Referências

  1. a b Ahlfors 1979, p. 51-52