Conjunto aberto

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Em topologia, um conjunto diz-se aberto se uma pequena variação de um ponto desse conjunto mantém-no no conjunto.

Definição em espaços topológicos[editar | editar código-fonte]

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia T em um conjunto X é definida como um subconjunto do conjunto das partes de X (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de T é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Abertos num espaço métrico[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto de um espaço métrico X\,\! é aberto se, para cada ponto a\in X, existe \epsilon>0\,\! tal que a bola aberta B(a,\epsilon)\,\! está contida em X\,\!.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Em um espaço topológico ou espaço métrico X, o conjunto vazio e o próprio conjunto X são abertos.
  • Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
  • Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
  • A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  • A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de \R[editar | editar código-fonte]

Como \R (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto X\,\! de \R é aberto se, para cada ponto a\in\R, existe \epsilon\,\! tal que (a-\epsilon,a+\epsilon)\subset X.

Em \R, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.