Bola (matemática)
Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).
Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.
Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.
Bolas em espaços métricos
[editar | editar código-fonte]Num espaço métrico , a bola aberta de raio centrada num ponto é o conjunto de pontos cuja distância a é inferior a , isto é, ;
A bola fechada de raio centrada num ponto é o conjunto de pontos à distância de não superior a , isto é, .
Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- Em , uma bola é um intervalo.[1]
- Em , uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.[2][1]
- Em , uma bola é o espaço interior a uma esfera.
- Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
- Em com a métrica , uma bola é um quadrado.[1]
- Em com a métrica , uma bola é um losango.
- Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Em qualquer espaço métrico ,
- Toda bola aberta é um aberto de X.[2]
- Toda bola fechada é um fechado de X.[2]
- Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.[3]
No com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.[4]
Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano
[editar | editar código-fonte]No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos que satisfaz a equação
e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação
Fórmulas de área e volume
[editar | editar código-fonte]O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos Vn, pode ser expressa em termos da função gama por
onde n!! é o duplo fatorial.
A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por An, pode ser expressa da forma
onde a última igualdade vale para n > 0.
As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:
(área da superfície) | (volume) | |||
---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | ||
1 | 2 | 2 | ||
2 | 6.283 | 3.141 | ||
3 | 12.57 | 4.189 | ||
4 | 19.74 | 4.935 | ||
5 | 26.32 | 5.264 | ||
6 | 31.01 | 5.168 | ||
7 | 33.07 | 4.725 | ||
8 | 32.47 | 4.059 | ||
9 | 29.69 | 3.299 | ||
10 | 25.50 | 2.550 |
onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.
Recursão
[editar | editar código-fonte]Os valores de An satisfazem a recursão:
- para .
Os valores de Vn satisfazem a recursão:
- para .
Dimensão Fracional
[editar | editar código-fonte]As fórmulas para An e Vn podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.
Outros raios
[editar | editar código-fonte]A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é An rn−1 e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é Vn rn. Particularmente, a área é A = 4π r 2 para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4π r 3 / 3 para a bola tridimensional de raio r.
Referências
- ↑ a b c Lima 1981, p. 11.
- ↑ a b c SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 11
- ↑ Lima 1981, p. 13.
- ↑ Lima 1981, p. 12, Teorema 2.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada