Intervalo (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em Matemática, um intervalo (real) é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, podendo ou não conter os próprios extremos. Por exemplo: um conjunto cujos elementos são maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1 (isto é, 0 ≤ x ≤ 1, sendo x um elemento qualquer pertencente ao conjunto em questão) é um intervalo que contém os extremos 0 e 1, bem como todos os números reais entre eles. Outros exemplos de intervalos são o conjunto dos números reais \R e o conjunto dos números reais negativos.

Representação geométrica de um exemplo de intervalo. Neste caso, tem-se que b > a, pois a reta real é orientada para a direita e, portanto, cresce nesse sentido. As "bolinhas vazias" nos extremos a e b indicam que esses números não pertencem ao intervalo. Logo, qualquer número real menor ou igual a a não pertence a esse intervalo, assim como qualquer número real maior ou igual a b.[1]

Os extremos podem ser números reais como também podem ser -\infty e +\infty. Existem divergências na literatura sobre se o conjunto vazio deveria ser ou não ser considerado um intervalo.[2] Quando o conjunto vazio é considerado um intervalo, a família de intervalos é fechada sobre a operação de intersecção. [2]

Representação[editar | editar código-fonte]

Notações comuns para representar intervalos são:[3] [4]

  • (a,b)= ]a,b[ =  \{x\in\mathbb{R}/ a<x<b\}: intervalo aberto
  • [a,b)= [a,b[ =  \{x\in\mathbb{R}/ a\leq x<b\}: intervalo semi-aberto ou semi-fechado
  • (a,b] = ]a,b] = \{x\in\mathbb{R}/ a<x\leq b\}: intervalo semi-aberto ou semi-fechado
  • [a,b] = \{x\in\mathbb{R}/ a\leq x\leq b\}: intervalo fechado
  • [a,+\infty) = [a,+\infty[ = \{x\in\mathbb{R}/  x\geq a\}: intervalo fechado
  • (a,+\infty) = ]a,+\infty[= \{x\in\mathbb{R}/  x> a\}: intervalo aberto
  • (-\infty,a] = ]-\infty,a]=\{x\in\mathbb{R}/  x\leq a\}: intervalo fechado
  • (-\infty,a) = ]-\infty,a[= \{x\in\mathbb{R}/  x< a\}: intervalo aberto
  • (-\infty,+\infty) = ]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}: a reta toda é um intervalo aberto e fechado
  • \emptyset: conjunto vazio, quando considerado um intervalo, é um intervalo aberto e fechado.

O intervalo [a,a]={a} é formado por um único elemento e chamado de intervalo degenerado. [4] [2]

Explicação[editar | editar código-fonte]

  • ] ou ( → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo não está incluído.
  • [ → No começo da representação significa que o ponto do extremo esquerdo está incluído.
  • ] → No final da representação significa que o ponto do extremo direito está incluído.
  • [ ou ) → No final da representação significa que o ponto do extremo direito não está incluído.
  • ° bolinha toda branca significa que esse número está excluído.
  • • bolinha pintada de preto significa que ele está incluído.

Referências

  1. Souza, Joamir Roberto de. Matemática. col: Novo Olhar, 2 ed. São Paulo: FTD, 2013. Capítulo: 1. , 320 p. p. 39;41. 3 vol. vol. 1. ISBN 978-85-322-8520-1
  2. a b c Jaulin, Luc. Applied Interval Analysis. [S.l.: s.n.], 2001. ISBN 1852332190
  3. Gelbaum, B. R. & Olmsted J. M. H.. Counterexamples in Analysis (em inglês). [S.l.: s.n.], 1964.
  4. a b Lages, Elon Lima. Análise real volume 1 funções de uma variável. 11 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. ISBN 9788524400483

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.