Número real

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Conjuntos Numéricos.

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.[1][2]

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Um Número Real é um valor que representa uma quantidade ao longo de uma linha contínua, incluindo tanto os Números Racionais quanto os Números Irracionais. Os números reais são pontos sobre uma linha reta infinita, chamada de Reta Numérica ou Reta Real, onde os pontos correspondentes aos Números Inteiros são igualmente espaçados.

Os números reais são incontáveis, isto é, enquanto que o conjunto de todos os Números Naturais e o conjunto de todos os Números Reais são conjuntos infinitos, não é possível haver função de um-pra-um entre eles. A cardinalidade do conjunto de todos os Números Reais é infinitamente maior do que a cardinalidade do conjunto de todos os Números Naturais.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,[3] formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada ..

Localização Geométrica dos pontos da reta[editar | editar código-fonte]

Um eixo cartesiano é uma reta euclidiana na qual foram escolhidas uma orientação e uma unidade de medida, ou seja, é formado por uma reta euclidiana , e pela escolha de dois pontos distintos sobre ela, denotados por e , sendo a origem do eixo e o ponto unitário do eixo. O ponto serve para determinar uma unidade de medida para os segmentos de reta do eixo, e também determina um sentido de percurso para o segmento. O sentido de percurso do eixo que vai de para () é chamado de sentido positivo, enquanto que o sentido oposto (), é chamado de sentido negativo. Observação: Denotando por o eixo determinado pela reta , pela origem e pelo ponto unitário , fia subentendido que isto determina como unidade de medida.

Ordenação dos números reais[editar | editar código-fonte]

A expansão decimal de um número absoluto nos diz até quantas unidades, décimos, centésimos, etc., cabem no mesmo. Em particular, dado um real absoluto , podemos escrever:

Assim, pode-se dizer que a definição da expansão decimal traz uma relação de ordem entre o real absoluto e os números racionais que se obtém truncando sua expansão decimal. Isso permite estabelecer uma relação de ordem entre dois reais absolutos quaisquer, a partir da comparação entre as respectivas expansões decimais. Dados dois números reais absolutos distintos, e , escrevemos suas expansões decimais:

Para definirmos quem é o maior numero entre e , iniciamos comparando com . -Se , então sabemos que é menor que , ou seja, -Se , então sabemos que é menor que , ou seja -Se , estão é necessário comparar com . Se , então , e se , então . No caso de , ou seja, e , compara-se com , aplicando os mesmos critérios anteriores, sucessivamente até chegar a uma conclusão , caso .

Intervalos encaixantes e evanescentes[editar | editar código-fonte]

Intervalo encaixante[editar | editar código-fonte]

Dada a sequência de intervalos fechados tais que , existe pelo menos um ponto que pertence a todos os intervalos, isto é, pertence a interseção e todos os intervalos.

A propriedade dos intervalos encaixantes expressa a ideia de que não tem buracos, pois se existisse, cercando-o cada vez mais de perto por números , obteríamos uma sequência de intervalos fechados com interseção vazia.

Intervalo evanescente[editar | editar código-fonte]

Uma sequência (infinita) de segmentos da reta é evanescente se for encaixante, e se para cada segmento de reta (não reduzido a um único ponto) que escolhermos, sempre pudermos encontrar um tal que o n-ésimo segmento da sentença satisfaça:

Sempre que for uma sequência evanescente de segmentos de reta, podemos afirmar que existe exatamente um ponto comum a todos os segmentos da sequência. Intuitivamente este postulado ou axioma diz que a reta euclidiana é "contínua", isto é, não tem "buracos".

Adição de números reais[editar | editar código-fonte]

Adição de reais positivos[editar | editar código-fonte]

Dados e números reais positivos, com expansões decimais

sejam, para cada , os números racionais

e .

A adição dos números reais e produz uma soma, denotada por , e definida como sendo o único número real comum a todos elementos da sequência de intervalos encaixantes e evanescentes:

Essa definição nos fornece aproximações racionais de tão precisas quanto quisermos. Basta notar que e são aproximações racionais ,por falta e por excesso, do número real , e que o "erro" pode ser menor o quanto quisermos.

Adição de reais negativos[editar | editar código-fonte]

A adição de dois números reais negativos produz uma soma que é obtida por meio da adição dos módulos de e :

Por exemplo, para e :

Adição de reais de sinais opostos[editar | editar código-fonte]

Dados um número real positivo e um número real negativo, com expansões decimais:

Sejam os números racionais:

e

A adição de um número real positivo e o real negativo produz uma soma, denotada por , e definida como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

Exemplo:

Ao somar , obtemos:

e prosseguindo semelhantemente, temos uma sequência encaixante e evanescente.

Multiplicação de números reais[editar | editar código-fonte]

Multiplicação de reais positivos[editar | editar código-fonte]

Dados e números reais positivos, com expansões decimais

Seja, para cada, os números racionais

e

A multiplicação dos números e produz um resultado chamado produto, denotado por , é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente:

Exemplo:

e

e

e

e

Multiplicação por real negativo[editar | editar código-fonte]

Dados  e dois números reais, sendo ao menos algum deles negativo

O produto  é definido como sendo o único número real comum a todos os elementos da sequência de intervalos encaixante e evanescente,

segundo as seguintes possibilidades lógicas:

  • Se e , temos:
  • Se e , temos:
  • Se e , temos:

Exemplo:

e

e

e

e

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, tem a seguinte propriedade:

  • Se for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

Nas palavras de Dedekind:[4]

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:[5]

Extensões[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. Ailton Feitosa. «Números Reais». InfoEscola. Consultado em 02 de março de 2014. 
  2. Marcos Noé. «Números Reais». R7. Brasil Escola. Consultado em 02 de março de 2014. 
  3. Durão Judice, Edson. Introdução à álgebra linear. Instituto de Minas Gerais, 1960. pp. 220.
  4. Richard Dedekind, Continuity and irrational numbers (seção V, subseção VI) (1872), citado por Jim Propp, Dedekind's forgotten axiom and why we should teach it (and why we shouldn't teach mathematical induction in our calculus classes) [em linha]
  5. Winfried Just, Martin Weese, Discovering Modern Set Theory: The basics (1996), p.86 [google books]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

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