Medida de Lebesgue

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Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do . Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedades[editar | editar código-fonte]

A medida de Lebesgue em é uma função . A família é compostas por subconjuntos de que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

  • Seja , então e:
  • Em especial:
  • Se então e, ainda:
, onde a igualdade ocorre se os conjuntos forem disjuntos dois a dois.
  • Se então .
  • Se e então é mensurável e tem medida zero.
  • É invariante por translação, ou seja, se é mensurável e é definido como então é mensurável e :
  • Se é mensurável e é uma transformação linear, então é mensurável e:
, onde é o determinante da transformação.

Ver também[editar | editar código-fonte]