Conjunto de medida zero

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Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se é um espaço de medida, um conjunto é dito ter medida zero se:

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta[editar | editar código-fonte]

Seja um conjunto qualquer na reta. Dizemos que é uma cobertura de bolas abertas para se satisfizer as hipóteses:

  • são bolas abertas com centro em e raio

O comprimento da cobertura é definido como:

Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto é dito ter medida zero se para todo , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números inteiros, tem medida zero.

Sabe-se que é enumerável, portanto pode ser escrito como:

Fixe um arbitrário e considere as bolas:

E o comprimento da cobertura é:

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
  • É fácil ver que se e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
  • O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração