Medida exterior de Lebesgue

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Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

As construções modernas para a medida de Lebesgue partem do conceito desta medida exterior.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Seja , então:
  • Em especial:
  • (sub-aditividade)
  • Em especial:
(monotonicidade)
  • Se é definido como então:
(invariância por translações)
  • Se é uma transformação linear e então:
, onde é o determinante da transformação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja o conjunto elementar . Define-se o volume de como:

É claro que qualquer subconjunto de está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto é definida como:

, onde são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem .

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de ,

Conjuntos de medida zero[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração
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