Transformação linear

A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o mesmo corpo $K$.

Diz-se que uma função $T$ de $V$ em $W$ é uma transformação linear se

• $(\forall v,w\in V):T(v+w)=T(v)+T(w)$;
• $(\forall\alpha\in K)(\forall v\in V):T(\alpha v)=\alpha T(v)$.

Exemplos de transformações lineares:

• a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=3x$;
• a função $T$ de $K^2$ em $K$ definida por $T(x,y)=x+y$;
• a função $T$ de $K^2$ em $K^2$ definida por $T(x,y)=(3x+y,2x-2y)$;
• se $D$ for o espaço das funções deriváveis de R em R e se $F$ for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação (isto é, a função de $D$ em $C$ que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se $a$ ∈ $K$ \ $\{0\}$, então a função $T$ de $K$ em $K$ definida por $T(x)=x+a$ não é uma transformação linear.

Se $T$ for uma função de um espaço vetorial $V$ num espaço vetorial $W$, então afirmar que $T$ é linear equivale a afirmar que $T$ preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores $v_1,v_2$ ∈ $V$ e dois escalares $\alpha_1,\alpha_2$ ∈ $K$:

$T(\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)$

Para qualquer aplicação linear $T$ de $V$ em $W$ tem-se:

• $T(0)=0$, pois $T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0$.
• se $v$ ∈ $V$, então $T(-v)=-T(v)$, pois $T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0$.

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W$, denotado por $\ker(T)$, é o conjunto

$\{v\in V\,|\,T(v)=0\}$ (onde $0$ é o vetor nulo de $W$)

Exemplo: O núcleo da função $T$ de $K^3$ em $K^3$ definida por $T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)$ é:

$\ker(T)=\left\{(x,y,z)\,|\,x=z/2=-y/4 \right\}$

O conjunto $\ker(T)$ é um subespaço vetorial de V, pois se $v_1,v_2$ ∈ $\ker(T)$ e se $\alpha_1,\alpha_2$ ∈ $K$, então

$T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=0$,

ou seja, $\alpha_1v_1+\alpha_2v_2$ ∈ $\ker(T)$.

Se uma aplicação linear $T$ de $V$ em $W$ for injectiva, então $\ker(T)=\{0\}$, pois $T(0)=0$ e, portanto, pela injectividade de $T$,o único vector $v$ ∈ $V$ tal que $T(v)=0$ é $0$. Reciprocamente, se $\ker(T)=\{0\}$, então $T$ é injectiva, pois, dados $v,w$ ∈ $V$

$T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in\ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w$.

Imagem

Sejam $V$ e $W$ espaços vectoriais sobre um corpo $K$. A imagem de uma transformação linear $T$ de $V$ em $W$ é o conjunto

$\operatorname{Im}(T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}$.

Sejam $w_,w_2$ dois elementos da imagem de $T$ e sejam $\alpha_1,\alpha_2\in K$. Então, como $w_1,w_2$ estão na imagem de $T$, há vectores $v_1,v_2\in V$ tais que $w_1=T(v_1)$ e que $w_2=T(v_2)$, pelo que

$\alpha_1w_1+\alpha_2w_2=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)\in\mathop{\mathrm{Im}}(T)$.

Logo, $\operatorname{Im}(T)$ é um subespaço vectorial de $W$.

Dimensão da imagem e do núcleo

Sejam $V$ e $W$ espaços vectoriais sobre um corpo $K$, sendo $V$ de dimensão finita, e seja $T$ uma transformação linear de $V$ em $W$. Então

$\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))$.

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja $n=\dim(\ker(T))$ e seja $\{v_1,v_2,$…$,v_n\}$ uma base de $\ker(T)$. Como $\ker(T)$ é um subespaço de $V$, pode-se completar essa base até obtermos uma base de $V$. Sejam então $w_1,w_2,$ … $,w_m$ ∈ $V$ tais que $\{v_1,v_2,$…$,v_n,w_1,w_2,$…$,w_m\}$ seja uma base de $V$; em particular, $\dim(V)=n+m$. Vai-se provar que $\{T(w_1),$…$,T(w_m)\}$ é uma base de Im$(T)$, de onde resultará que

$\dim(\operatorname{Im}(T))=m=(m+n)-n=\dim(V)-\dim(\ker(V))$.

Se $w$ ∈ Im$(T)$, então $w=T(v)$ para algum $v$ ∈ $V$ e $v$ pode ser escrito sob a forma

$v=\alpha_1v_1+\cdots\alpha_nv_n+\beta_1w_1+\cdots+\beta_mw_m$,

pelo que

$T(v)=\beta_1T(w_1)+\cdots+\beta_mT(w_m)$,

visto que $v_1,v_2,$ … $,v_n$ ∈ $\ker(T)$. Isto prova que $\{T(w_1),$…$,T(w_m)\}$ gera Im$(T)$. Por outro lado, os vetores $T(w_1),T(w_2)$ … $T(w_m)$ são linearmente independentes, pois se $\alpha_1,\alpha_2,$ … $,\alpha_m$ ∈ $K$ forem tais que

$\alpha_1T(w_1)+\alpha_2T(w_2)+\cdots+\alpha_mT(w_m)=0$,

então

$T\bigl(\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\bigr)=0\Rightarrow\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+\cdots+\alpha_mw_m\in\ker(T)$,

de onde resulta que $\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+$ ··· $+\alpha_mw_m$ é uma combinação linear dos vetores $v_1,v_2,$ … $,v_n$, o que é só é possível se $\alpha_1=\alpha_2=$···$=\alpha_m=0$, pois o conjunto $\{v_1,v_2,$…$,v_n,w_1,w_2,$…$,w_m\}$ é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais de transformações lineares

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijectiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se $T$ for um endomorfismo de um espaço vetorial $V$ de dimensão finita, então são condições equivalentes:

1. $T$ é injectivo;
2. $T$ é sobrejectivo;
3. $T$ é bijectivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se $T$ for sobrejectivo, então

$\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V)-\dim(\ker(T))$,

pelo que $\dim(\ker(T))=0$ e, portanto, $\ker(T)=\{0\}$, pelo que $T$ é injectivo. Por outro lado, se $T$ for injectivo, então

$0=\dim(\ker(T))=\dim(V)-\dim(\operatorname{Im}(T))$,

pelo que $\dim(V)=\dim(\operatorname{Im}(T))$ e, portanto, $V=\operatorname{Im}(T)$, ou seja, $T$ é sobrejectivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R² são bastante elucidativas:

• rotação de 90 graus no sentido anti-horário:

  $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$

• rotação por θ graus no sentido anti-horário:

  $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}$

• reflexão em torno do eixo x:

  $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$

• reflexão em torno do eixo y:

  $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

• Projeção no eixo y:

  $\mathbf{A}=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}.$

Espaço das Transformações Lineares

Sejam $V$ e $W$ espaços vetoriais sobre o corpo $K$. Seja $L(V,W)$ definido como o conjunto de todas transformações lineares de $V$ em $W$. Como funções, para quaisquer operadores $T$ e $U$ e qualquer escalar $a$, podemos definir $T + U$ e $aT$ por:

$(T + U)(v) = T(v) + U(v)$

$(a T)(v) = a T(v)$

É imediato provar que $T + U$ e $aT$ também são transformações lineares de $V$ em $W$, e que $L(V,W)$ com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre $K$.

Pelo fato de que, dadas bases de $V$ e $W$, temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão $n$ × $m$, concluímos que a dimensão de $L(V,W)$ é $nm$ (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares

Um caso particular importante é o espaço $L(V,V)$, das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear T, podem-se definir as potências T², T³, ou, de modo geral, Tⁿ para qualquer n inteiro positivo. Portanto, se p(x) é um polinómio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):

$p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \implies p(T) = a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_n T^n$

em que I_V é o operador identidade em V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se p(x) e q(x) são polinómios, então $p(T) + q(T) = (p + q)(T)$ e $p(T) q(T) = (pq)(T)$.

Se o espaço V tem dimensão finita n, então L(V,V) também tem dimensão finita n². Portanto, o conjunto de n²+1 operadores $\{I_V, T, \ldots, T^{n^2} \}$ é linearmente dependente. Logo, existem escalares $a_0, a_1, \ldots a_{n^2}$, não todos nulos, tais que $a_0 I_V + a_1 T + \ldots + a_{n^2} T^{n^2} = 0$. Ou seja, existe um polinómio não-nulo p(x) tal que p(T) = 0.

Se existe um polinómio não-nulo f(x) tal que f(T) = 0, então o conjunto não-vazio dos polinómios q(x) tais que q(T) = 0 forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómio mónico p(x) tal que p(T) = 0. Este polinómio é chamado de polinómio mínimo de T.

Espaço dual

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja $V$ um espaço vetorial sobre um corpo $K$. O espaço dual de $V$, representado por $V*$, é o espaço vetorial $L(V,K)$ das transformações lineares de $V$ em $K$.

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