Transformação linear

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A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços vetoriais sobre o mesmo corpo .

Diz-se que uma função de em é uma transformação linear se

  • ;
  • .

Exemplos de transformações lineares:

  • a função de em definida por ;
  • a função de em definida por ;
  • a função de em definida por ;
  • se for o espaço das funções deriváveis de R em R e se for o espaço de todas as funções de R em R, então a derivação (isto é, a função de em que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se  ∈  \ , então a função de em definida por não é uma transformação linear.

Se for uma função de um espaço vetorial num espaço vetorial , então afirmar que é linear equivale a afirmar que preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores  ∈  e dois escalares  ∈ :

Para qualquer aplicação linear de em tem-se:

  • , pois .
  • se  ∈ , então , pois .

Núcleo[editar | editar código-fonte]

O núcleo de uma transformação linear de em , denotado por , é o conjunto

(onde é o vetor nulo de )

Exemplo: O núcleo da função de em definida por é:

O conjunto é um subespaço vetorial de V, pois se  ∈  e se  ∈ , então

,

ou seja,  ∈ .

Se uma aplicação linear de em for injectiva, então , pois e, portanto, pela injectividade de ,o único vector  ∈  tal que é . Reciprocamente, se , então é injectiva, pois, dados  ∈ 

.

Imagem[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços vectoriais sobre um corpo . A imagem de uma transformação linear de em é o conjunto

.

Sejam dois elementos da imagem de e sejam . Então, como estão na imagem de , há vectores tais que e que , pelo que

.

Logo, é um subespaço vetorial de .

Dimensão da imagem e do núcleo[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços vectoriais sobre um corpo , sendo de dimensão finita, e seja uma transformação linear de em . Então

.

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja e seja uma base de . Como é um subespaço de , pode-se completar essa base até obtermos uma base de . Sejam então  …  ∈  tais que seja uma base de ; em particular, . Vai-se provar que é uma base de Im, de onde resultará que

.

Se  ∈ Im, então para algum  ∈  e pode ser escrito sob a forma

,

pelo que

,

visto que  …  ∈ . Isto prova que gera Im. Por outro lado, os vetores  …  são linearmente independentes, pois se  …  ∈  forem tais que

,

então

,

de onde resulta que  ···  é uma combinação linear dos vetores  … , o que é só é possível se ···, pois o conjunto é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais de transformações lineares[editar | editar código-fonte]

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se for um endomorfismo de um espaço vetorial de dimensão finita, então são condições equivalentes:

  1. é injetivo;
  2. é sobrejetivo;
  3. é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se for sobrejetivo, então

,

pelo que e, portanto, , pelo que é injetivo. Por outro lado, se for injetivo, então

,

pelo que e, portanto, , ou seja, é sobrejetivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares[editar | editar código-fonte]

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R2 são bastante elucidativas:

  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
  • rotação por θ graus no sentido anti-horário:
  • reflexão em torno do eixo x:
  • reflexão em torno do eixo y:
  • Projeção no eixo y:

Espaço das Transformações Lineares[editar | editar código-fonte]

Sejam e espaços vetoriais sobre o corpo . Seja definido como o conjunto de todas transformações lineares de em . Como funções, para quaisquer operadores e e qualquer escalar , podemos definir e por:

É imediato provar que e também são transformações lineares de em , e que com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre .

Pelo fato de que, dadas bases de e , temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão  × , concluímos que a dimensão de é (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares[editar | editar código-fonte]

Um caso particular importante é o espaço , das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear T, podem-se definir as potências T2, T3, ou, de modo geral, Tn para qualquer n inteiro positivo. Portanto, se p(x) é um polinómio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):

em que IV é o operador identidade em V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

  • Se p(x) e q(x) são polinómios, então e .

Se o espaço V tem dimensão finita n, então L(V,V) também tem dimensão finita n2. Portanto, o conjunto de n2+1 operadores é linearmente dependente. Logo, existem escalares , não todos nulos, tais que . Ou seja, existe um polinómio não-nulo p(x) tal que p(T) = 0.

Se existe um polinómio não-nulo f(x) tal que f(T) = 0, então o conjunto não-vazio dos polinómios q(x) tais que q(T) = 0 forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómio mónico p(x) tal que p(T) = 0. Este polinómio é chamado de polinómio mínimo de T.

Espaço dual[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja um espaço vetorial sobre um corpo . O espaço dual de , representado por , é o espaço vetorial das transformações lineares de em .


Ver também[editar | editar código-fonte]