A
reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.
Em álgebra linear, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e o contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Sejam
e
espaços vetoriais sobre o mesmo corpo
Diz-se que uma função
é uma transformação linear se, para quaisquer
e
valem as relações:[1]


- a função
de
em
definida por 
- a função
de
em
definida por 
- a função
de
em
definida por 
- se
for o espaço das funções deriváveis de
em
, e se
for o espaço de todas as funções de
em
, então a derivação (isto é, a função de
em
que envia cada função na sua derivada) é linear.
Em contrapartida, se
, então a função
de
em
definida por
não é uma transformação linear.
Se
for uma função de um espaço vetorial
num espaço vetorial
então afirmar que
é linear equivale a afirmar que
preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores
∈
e dois escalares
∈

Para qualquer aplicação linear
de
em
, tem-se:
pois 
- se
∈
então
pois 
Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:


Em suma:
As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.
Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma
em que
é um número real.
é a variável dependente e
a variável independente;
é o coeficiente angular.
Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma
uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando
é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.
A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.
Sejam
espaços vetoriais. Uma função
é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:


Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:


O núcleo de uma transformação linear
de
em
denotado por
é o conjunto
em que
é o vetor nulo de
Exemplo: O núcleo da função
de
em
definida por
é:

O conjunto
é um subespaço vetorial de V, pois se
∈
e se
∈
então
ou seja,
∈
Se uma aplicação linear
de
em
for injectiva, então
pois
e, portanto, pela injectividade de
o único vector
∈
tal que
é
Reciprocamente, se
então
é injectiva, pois, dados
∈

Sejam
e
espaços vetoriais sobre um corpo
A imagem de uma transformação linear
de
em
é o conjunto:

Sejam
dois elementos da imagem de
e sejam
Então, como
estão na imagem de
há vectores
tais que
e que
pelo que:

Logo,

é um subespaço vetorial de
Sejam
e
espaços vetoriais sobre um corpo
sendo
de dimensão finita, e seja
uma transformação linear de
em
Então

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja

e seja

…

uma
base de

Como

é um subespaço de

pode-se completar essa base até obtermos uma base de

Sejam então

…

∈

tais que

…

…

seja uma base de

em particular,

Vai-se provar que

…

é uma base de Im

de onde resultará que

Se

∈ Im

então

para algum

∈

e

pode ser escrito sob a forma

pelo que

visto que

∈

Isto prova que

gera

Por outro lado, os vetores

são
linearmente independentes, pois se

∈

forem tais que

então

de onde resulta que

é uma combinação linear dos vetores

o que é só é possível se

pois o conjunto

é uma base e, portanto, linearmente independente.
Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.
Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.
Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.
Se
for um endomorfismo de um espaço vetorial
de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:
é injetivo;
é sobrejetivo;
é bijetivo.
É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se
for sobrejetivo, então

pelo que

e, portanto,

pelo que

é injetivo. Por outro lado, se

for injetivo, então

pelo que

e, portanto,

ou seja,

é sobrejetivo.
Exemplos de matrizes de transformações lineares[editar | editar código-fonte]
Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:
- rotação de 90 graus no sentido anti-horário:

- rotação por
graus no sentido anti-horário: 
- reflexão em torno do eixo x:

- reflexão em torno do eixo y:

- projeção sobre o eixo y:

Sejam
e
espaços vetoriais sobre o corpo
Seja
definido como o conjunto de todas transformações lineares de
em
Como funções, para quaisquer operadores
e
e qualquer escalar
podemos definir
e
por:


É imediato provar que
e
também são transformações lineares de
em
e que
com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre
Pelo fato de que, dadas bases de
e
temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão
×
concluímos que a dimensão de
é
(no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).
Um caso particular importante é o espaço
das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).
Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
Assim, dado um operador linear
podem-se definir as potências
ou, de modo geral,
Portanto, se
é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir

em que

é o operador identidade em
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
- Se
e
são polinômios, então
e 
Se o espaço
tem dimensão finita
então
também tem dimensão finita
Portanto, o conjunto de
operadores
é linearmente dependente. Logo, existem escalares
não todos nulos, tais que
Ou seja, existe um polinômio não-nulo
tal que
.
Se existe um polinômio não-nulo
tal que
, então o conjunto não-vazio dos polinômio
tais que
forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico
tal que
. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de
Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
O espaço dual de
representado por
é o espaço vetorial
das transformações lineares de
em
Referências
- ↑ Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207
- ↑ «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018
- ↑ «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018
- ↑ «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018