Função injectiva

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Na matemática, uma função injectiva (ou injetora) é uma função que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu domínio para o mesmo elemento de seu contradomínio. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam e (pertencentes ao domínio da função), é diferente de implica que f() é diferente de f(): .

Uma função injetiva, mas não sobrejetiva (injeção, mas é não uma bijeção
Uma função injetiva e sobrejetiva (bijeção
Uma função sobrejetiva, mas não injetiva (sobrejeção, não é uma bijeção
Uma função nem injetiva, nem sobrejetiva (também não é uma bijeção

Graficamente, uma função é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de a é denotada , usando uma seta com uma "cauda separada" (U+21A3 rightwards arrow with tail).[1] O conjunto de funções injetivas de a pode ser denominado usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se e são conjuntos finitos com respectivamente e elementos, o número de injeções de a é .

Um monomorfismo é uma generalização de uma função injetiva na teoria das categorias.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja uma função cujo domínio é um conjunto . Diz-se que a função é injetiva desde que para todos e em , sempre que , então ; isto é, implica . Equivalente, se , então .

Simbolicamente,

que é logicamente equivalente à contrapositiva,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A função definida por não é injectiva, pois existe pelo menos um tal que , por exemplo, para . Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável para que o valor da função seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
  • A função definida por é injectiva, pois implica que deve ser diferente de , para . Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável somente pelo número 2.
  • A função definida por é injectiva, pois implica que deve ser diferente de , para . Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 8, poderíamos substituir a variável somente pelo número 2, enquanto que para que a função seja igual a -8, poderíamos substituir a variável somente pelo número -2.

Aplicações lineares[editar | editar código-fonte]

  • Uma transformação linear é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo — ou ainda, — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é, .

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora → , com , para algum .

Das propriedades da transformação linear:

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

.

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se .

  • Uma transformação linear também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = linearmente independentes)

Segue a demonstração:

Prova da ida:

Hipótese: A é injetiva

Tese: A leva vetores LI em vetores LI.

Se são linearmente independentes provaremos que são linearmente independentes.

Com efeito se

Usando a linearidade de A:

Então temos que pertence ao núcleo de , e como é injetiva, , ou seja,

, como são LI tem-se , ou seja são linearmente independentes.

Prova da volta:

Hipótese: A leva vetores LI em vetores LI.

Tese: A é injetiva.

Sendo é LI então é , portanto e é injetiva.

Segue-se desse teorema que se tem dimensão finita, , assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de em .

Injeções podem ser desfeitas[editar | editar código-fonte]

Funções com inversas à esquerda são sempre injeções. Isto é, dado , se houver uma função tal que, para cada ,

( pode ser desfeita por )

então é injetiva. Nesse caso, é chamada de retração de . Por outro lado, é chamado de seção de .

Inversamente, toda injeção com domínio não vazio tem uma inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de de modo que seja igual à pré-imagem única de sob , se existir e caso contrário.[2]

A inversa à esquerda não é necessariamente um inverso de porque a composição na outra ordem, , pode diferir da identidade em . Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja bijetiva.

Injeções podem tornar-se invertíveis[editar | editar código-fonte]

Na verdade, para transformar uma função injetora em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio pelo seu intervalo real . Isto é, vamos tal que para todo em ; então g é bijetiva. De fato, pode ser fatorada como , onde é a função de inclusão de em .

Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Outras propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se e são ambas injetivas, então é injetiva.
A composição de duas funções injetivas é injetiva
  • Se é injetiva, então é injetiva (mas não precisa ser).
  • é injetiva se, e somente se, dadas quaisquer funções sempre que , então . Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os monomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos.
  • Se é injetiva e é um subconjunto de , então . Assim, pode ser recuperado de sua imagem .
  • Se é injetiva e e são ambos subconjuntos de , então .
  • Cada função pode ser decomposta como para uma injeção adequada e uma sobrejeção . Esta decomposição é única até o isomorfismo, e pode ser considerada como a função de inclusão do intervalo de como um subconjunto do contradomínio de .
  • Se é uma função injetiva, então tem pelo menos tantos elementos quanto , no sentido de números cardinais. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de para , então e terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder.)
  • Se tanto quanto são finitos com o mesmo número de elementos, então é injetiva se e somente se é sobrejetiva (nesse caso é bijetiva).
  • Uma função injetiva que é um homomorfismo entre duas estruturas algébricas é uma incorporação.
  • Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de .

Provando que as funções são injetivas[editar | editar código-fonte]

Uma prova de que uma função é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se , então .[3]

Exemplo 1:[editar | editar código-fonte]

Prova: Seja . Suponha que . Então, . Portanto, segue da definição que é injetiva.

Exemplo 2:[editar | editar código-fonte]

Prova: Seja . Suponha que . Então, . Assim, segue da definição que é injetiva.

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no cálculo se é uma função diferenciável definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na álgebra linear, se é uma transformação linear, é suficiente mostrar que o núcleo de contém apenas o vetor zero. Se é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
Wikilivros Livros e manuais no Wikilivros

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. «Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013 
  2. Ao contrário da afirmação correspondente de que toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, isso não requer o axioma da escolha, já que a existência de a é implicada pela não-vacuidade do domínio. No entanto, esta afirmação pode falhar em matemática menos convencional, como a matemática construtiva. Na matemática construtiva, a inclusão {0,1} → 'R' do conjunto de dois elementos nos reais não pode ter inversão à esquerda, pois violaria indecomposição, dando uma retração da reta real para o conjunto {0,1}.
  3. Williams, Peter. «Proving Functions One-to-One». Cópia arquivada em 4 de junho de 2017 

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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