Função inversa

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A função inversa de uma função real de variável real obtém-se de por uma simetria em relação à recta .

Em matemática, a função inversa de uma função é, quando existe, a função tal que e (id=função identidade). Ou seja, o que era domínio na função original (o conjunto neste caso, ilustrado na figura abaixo) vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original (, neste caso - ilustrado na figura abaixo) vira domínio.

Bijection.svg

Uma função que tenha inversa diz-se invertível. Se uma função for invertível, então tem uma única inversa. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja invertível é que seja bijectiva[1] .

Se for uma função injectiva de em , então é também uma função bijectiva de em . Consequentemente, tem uma inversa de em . Por abuso de linguagem, também se designa esta função por inversa de , embora o seu domínio não seja, em geral, o conjunto .

A função inversa de uma função real de uma variável real[editar | editar código-fonte]

Seja uma função bijetiva definida por . Resolvendo para em função de , temos determinado uma função . Esta função é a função inversa de , i.e. .[2]

Exemplo:

Para determinarmos a inversa da função podemos proceder da seguinte forma:

  1. Portanto,

Inversa à direita ou à esquerda[editar | editar código-fonte]

Dadas as funções e , diremos que é função inversa à esquerda de quando a função composta (id=função identidade), ou seja, quando para todo pertencente ao conjunto A. Uma função possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva.[3] . Por exemplo, a função dada por , que é injetiva mas não sobrejetiva, tem como inversa , porque a função composta para todo , a qual é a função identidade.

Dadas as funções g:B→A e f:A→B e , diremos que g é uma inversa à direita de f quando a função composta f O g = idB:B→B, ou seja, quando f(g(x)) = x para todo y pertencente ao conjunto B. Uma função f possui inversa à direita se, e somente se, for sobrejetiva.[3]

Referências

  1. Alencar Filho, Edgar de (1980). Teoria Elementar dos Conjuntos Nobel [S.l.] 
  2. Anton, Howard (2007). Cálculo - Um novo horizonte vol. 1 8 ed. Bookman [S.l.] ISBN 8560031634. 
  3. a b LAGES, Elon Lima. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Páginas 21 e 22.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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