Função sobrejectiva

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Em matemática, uma função de um conjunto para um conjunto é sobrejectiva (ou sobrejetiva ou sobrejetora), se para todo elemento no contradomínio de houver pelo menos um elemento no domínio de tal que Ou seja, quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função. Não é necessário que seja único; a função pode apontar um ou mais elementos de para o mesmo elemento de

Uma função sobrejetiva do domínio para o contradomínio A função é sobrejetiva porque cada ponto no contradomínio é o valor de para pelo menos um ponto no domínio.

O termo sobrejetiva e os termos relacionados injetiva e bijetiva foram introduzidos por Nicolas Bourbaki,[1] um grupo de matemáticos majoritariamente franceses do século XX que, sob esse pseudônimo, escreveram uma série de livros apresentando uma exposição moderna da matemática avançada, iniciada em 1935. A palavra francesa sur significa sobre ou acima e relaciona-se ao fato de que a imagem do domínio de uma função sobrejetiva cobre completamente o contradomínio da função.

Qualquer função induz uma sobrejeção restringindo seu contradomínio ao seu alcance. Toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, e toda função com um inverso à direita é necessariamente uma sobrejeção. O composto de funções sobrejetivas é sempre sobrejetiva. Qualquer função pode ser decomposta em uma sobrejeção e uma injeção.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma função sobrejetiva é uma função cuja imagem é igual ao seu contradomínio. Equivalentemente, uma função com domínio e contradomínio é comutativa se para todo em existir pelo menos um em com Sobrejeções são por vezes denotadas por uma seta para a direita de duas cabeças (U+21A0 rightwards two headed arrow),[2] como em

Simbolicamente,

Se então é dito ser sobrejetiva se

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A função definida por não é sobrejectiva, pois existe pelo menos um que não está na imagem da função, por exemplo, para uma vez que os números negativos não fazem parte do conjunto imagem. De facto, não existe um real tal que
  • A função definida por é sobrejectiva, pois qualquer elemento do contradomínio é imagem da função para algum elemento do domínio.
  • A função definida por é sobrejectiva, pois todos os números reais são imagem de algum número real.[3]
  • As projeções e de um produto cartesiano nos fatores e respectivamente, ambos não vazios. A primeira projeção, é definida por enquanto a segunda projeção, é definida por [4]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Uma função é bijetiva se e somente se for ao mesmo tempo sobrejetiva e injetiva.

Se (como é feito frequentemente) uma função é identificada com seu gráfico, então a sobrejetividade não é uma propriedade da função em si, mas sim uma propriedade do mapeamento.[5] Isto é, a função junto com seu contradomínio. Ao contrário da injetividade, a sobrejetividade não pode ser lida do gráfico da função sozinha.

Sobrejeções como funções invertíveis à direita[editar | editar código-fonte]

A função é dita como uma inversa à direita da função se para todo em ( pode ser desfeita por ). Em outras palavras, é uma inversa à direita de se a composição de e nessa ordem for a função de identidade no domínio de A função não precisa ser um inverso completo de porque a composição na outra ordem, pode não ser a função de identidade no domínio de Em outras palavras, pode desfazer ou "inverter" mas não pode necessariamente ser revertida por ela.

Toda função com uma inversa à direita é necessariamente uma sobrejeção. A proposição de que toda função sobrejetiva tem uma inversa à direita é equivalente ao axioma da escolha.

Se é sobrejetiva e é um subconjunto de então Assim, pode ser obtido de sua pré-imagem

Por exemplo, na primeira ilustração, abaixo, há alguma função tal que Há também alguma função tal que Não importa que possa também igual a só importa que "inverte"

Sobrejeções como epimorfismos[editar | editar código-fonte]

Uma função é sobrejetiva se e somente se for cancelável à direita:[6] dadas quaisquer funções sempre que então Esta propriedade é formulada em termos de funções e sua composição e pode ser generalizada à noção mais geral dos morfismos de uma categoria e sua composição. Morfismos canceláveis à direita são chamados de epimorfismos. Especificamente, funções sobrejetivas são precisamente os epimorfismos na categoria dos conjuntos. O prefixo epi é derivado da preposição grega ἐπί significando acima, em.

Qualquer morfismo com uma inversa à direita é um epimorfismo, mas a inversa não é verdadeira em geral. Uma inversa à direita de um morfismo é chamada uma seção de Um morfismo com um inverso à direita é chamado de epimorfismo dividido.

Sobrejeções como relações binárias[editar | editar código-fonte]

Qualquer função com o domínio e o contradomínio pode ser vista como uma relação binária esquerda-total e direita-única entre e identificando-a com seu gráfico de funções. Uma função sobrejetiva com o domínio e o contradomínio é então uma relação binária entre e que é única na direita e tanto na esquerda como na total.

Cardinalidade do domínio de uma sobrejeção[editar | editar código-fonte]

A cardinalidade do domínio de uma função sobrejetiva é maior ou igual à cardinalidade de seu contradomínio: Se é uma função sobrejetiva, então tem pelo menos tantos elementos quanto no sentido de números cardinais. (A prova apela ao axioma da escolha para mostrar que existe uma função satisfazendo para todo em é facilmente vista como sendo injetiva, portanto a definição formal de é satisfeita.)

Especificamente, se e são finitos com o mesmo número de elementos, então é sobrejetiva se e somente se for injetiva.

Dados dois conjuntos e a notação é usada para dizer que está vazio ou que há uma sobrejeção de em Usando o axioma da escolha, pode-se mostrar que e juntos implicam que uma variante do teorema de Schröder-Bernstein.

Composição e decomposição[editar | editar código-fonte]

A composta de funções sobrejetivas é sempre sobrejetiva: Se e são ambas sobrejetivas, e o contradomínio de é igual ao domínio de então é sobrejetiva. Inversamente, se é sobrejetiva, então é sobrejetiva (mas a função aplicada primeiro, não precisa ser). Essas propriedades generalizam desde as rejeições na categoria de conjuntos até quaisquer epimorfismos em qualquer categoria.

Qualquer função pode ser decomposta em uma injeção e uma injeção: Para qualquer função existe uma sobrejeção e uma injeção tal que Para entender isso, defina como sendo o conjunto de pré-imagens onde está em Essas pré-imagens são disjuntas e particionam Então carrega cada para o elemento de que o contém, e transporta cada elemento de para o ponto em para o qual envia seus pontos. Então, é sobrejetiva, pois é um mapa de projeção e é injetiva por definição.

Sobrejeção induzida e bijeção induzida[editar | editar código-fonte]

Qualquer função induz uma sobrejeção restringindo seu contradomínio ao seu alcance. Qualquer função sobrejetiva induz uma bijeção definida em um quociente de seu domínio, colapsando todos os mapeamentos de argumentos para uma determinada imagem fixa. Mais precisamente, cada sobrejeção pode ser fatorada como uma projeção seguida por uma bijeção como segue. Seja as classes de equivalência de sob a seguinte relação de equivalência: se e somente se Equivalentemente, é o conjunto de todas as pré-imagens sob Seja o mapa de projeção que envia cada em para sua classe de equivalência e seja a função bem definida dada por Então

Provando que as funções são sobrejetivas[editar | editar código-fonte]

Para provar que uma função é sobrejetiva, temos que ter uma função tal que a imagem de é igual ao contradomínio Suponha um elemento arbitrário e mostre que existe um elemento para que

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Seja tal que

Prova: Suponha Temos o que implica Note que para todo em Portanto, segue da definição que é sobrejetiva.

Referências

  1. Miller, Jeff, «Injection, Surjection and Bijection», Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics, Tripod .
  2. «Arrows – Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013 
  3. David A. SANTOS, Linear Algebra Notes, p. 16
  4. LAGES, Elon Lima (2004), Curso de análise, 1 11ª ed. , p. 15 .
  5. T. M. Apostol (1981). Mathematical Analysis. [S.l.]: Addison-Wesley. p. 35 
  6. Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, the Categorial Analysis of Logic Revised ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Consultado em 25 de novembro de 2009 

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Leitura adicional[editar | editar código-fonte]