Integral de Tchebychev

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Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894)

A Integral de Tchebychev é formulada por

Teorema — 

onde é a função beta incompleta.[1]

Teorema de integração dos binômios diferenciais[editar | editar código-fonte]

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:[2]

onde e são números reais e , e são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer , e , exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:[3][4]

é um número inteiro;
Expande-se pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples . Então a substituição , onde é o maior de todos os denominadores , removerá completamente os radicais.[5]
é um número inteiro;
Substitui-se onde é o denominador de ,[4] ou seja, e .[6]
é um número inteiro.
Substitui-se onde é o denominador de .[5][4]

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.[7]

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • ,[4] onde , e , ou seja, .

Logo, .

Assim,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019 
  2. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial», Encyclopedia of Mathematics, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
  3. «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019 
  4. a b c d Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131 
  5. a b Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF). Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion 
  6. Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF). ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION 
  7. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials», Encyclopedia of Mathematics, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer