Número racional

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Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão ou fração entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais representado por é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros e , em que é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s [1], cujo significado é quantas vezes .

São exemplos de números racionais: , , ,

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:

  • Fração: .

Na Fração , é o numerador e o denominador. Se e são primos entre si, isto é, se , dizemos que essa fração é irredutível.

  • Numeral misto:
  • Números decimais de escrita finita:
  • Dízimas periódicas: ou

Subconjuntos de :[2][editar | editar código-fonte]

: conjuntos dos racionais não nulos.

: conjuntos dos racionais não negativos.

: conjuntos dos racionais positivos.

: conjuntos dos racionais não positivos.

: conjunto dos racionais negativos.

Propriedades de :[editar | editar código-fonte]

Seja , e .

  • ADIÇÃO

Associativa

Comutativa

Elemento neutro da soma

SIMÉTRICO PARA A ADIÇÃO

  • MULTIPLICAÇÃO

Associativa

Comutativa

Elemento neutro da multiplicação

Distributiva

  • SIMÉTRICO PARA A MULTIPLICAÇÃO

e , existe , tal que .

Com isso, podemos definir em a DIVISÃO, tal que , para , .

Equivalência de frações[editar | editar código-fonte]

é o mesmo que ?

Fração Equivalente.gif

Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.

Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois

Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:

Sendo e números inteiros, dizemos que as frações e são frações equivalentes, o que denotamos por:

Quando, e somente quando, tivermos , ou seja

Exemplos:

Propriedades de equivalência de frações:[editar | editar código-fonte]

Reflexiva

Simétrica

e Transitiva

Classe de Frações[editar | editar código-fonte]

[3]A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Usualmente trabalhamos com a fração irredútivel deste conjunto. A cada classe de equivalência de fração associamos um número racional.

Classe significa o mesmo que conjunto e é usada quando um conjunto de objetos matemáticos são, de alguma maneira, todos equivalentes entre si.

Exemplo: , neste caso

O número zero racional consiste na classe . Ele é o único número racional que tem representações fracionárias, tanto com numerador e denominador de sinais iguais, como de sinais opostos.

Ordenação dos Racionais[4][editar | editar código-fonte]

A relação de ordem entre números racionais sempre é estabelecida a partir de representações fracionárias de denominadores positivos.

Dados dois números racionais e

TEOREMA:

O campo tem a estrutura de campo ordenado, ou seja, é um corpo no qual a relação de ordem verifica as duas seguintes propriedades:

Sendo

Propriedade arquimediana em [editar | editar código-fonte]

Dado um número racional , para cada escolha de , sempre é possível encontrar  , tal que 

e , onde é o menor possível.

Sabemos então que quando , , porém não temos como determinar o menor racional que seja maior que . Então basta tomarmos um . Por exemplo: .

Densidade dos Racionais[editar | editar código-fonte]

Um conjunto de números racionais é dito denso (em ) se entre dois quaisquer  elementos distintos de existam infinitos elementos de , ou seja, entre os dois elementos de dados, existem infinitos intermediários que estão em .

TEOREMA:

A média aritmética de quaisquer dos números racionais sempre é um número intermediário entre eles. Se .

Hipótese: .

Tese:

Temos que

Então,

Representação Decimal[editar | editar código-fonte]

Podemos passar um número racional para a forma decimal dividindo o inteiro pelo inteiro , com isso podemos obter dois casos:

Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos:

, e

Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:

dízima periódica simples

dízima periódica simples

dízima periódica composta

Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração , portanto, representa um número racional.

Quando a decimal é exata, podemos escrevê-lo em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e, cujo denominador é o algarismo seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:

Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:

Referências

  1. Diccionario básico Latino Español/ Español latino ISBN 84-7153-223-9
  2. Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de matemática elementar,1: conjuntos e funções (São Paulo: Atual). ISBN 9788535704556. 
  3. «classe de equivalência de frações» (PDF). Consultado em 22/08/2016. 
  4. Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos (Porto Alegre: UFRGS). ISBN 9788538601289. 
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