Número racional

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Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão ou fração entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais, representado por é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de números inteiros e em que é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado da palavra latina quotiē(n)s [1], cujo significado é quantas vezes .

São exemplos de números racionais:

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Exemplos:

  • Fração:
  • Na Fração é o numerador e o denominador. Se e são primos entre si, isto é, se dizemos que essa fração é irredutível.
  • Numeral misto:
  • Números decimais de escrita finita:
  • Dízimas periódicas: ou

Subconjuntos de [2][editar | editar código-fonte]

  • conjuntos dos racionais não nulos.
  • conjuntos dos racionais não negativos.
  • conjuntos dos racionais positivos.
  • conjuntos dos racionais não positivos.
  • conjunto dos racionais negativos.

Propriedades de [editar | editar código-fonte]

Sejam e

  • Adição
    1. (associativa)
    2. (comutativa)
    3. (elemento neutro da soma)
    4. (simétrico para a adição)
  • Multiplicação
    1. (associativa)
    2. (comutativa)
    3. (elemento neutro da multiplicação)
    4. (distributiva)
    5. e existe tal que (simétrico para a multiplicação)

Com isso, podemos definir em a divisão, tal que para

Equivalência de frações[editar | editar código-fonte]

é o mesmo que

Fração Equivalente.gif

Não, essas frações na verdade representam quantidades iguais, ou seja, são equivalentes.

Quando os denominadores são iguais é fácil identificar se as quantidades representadas por duas frações são iguais, pois

Agora, quando os denominadores não são iguais usamos a seguinte definição:

Sendo e números inteiros, dizemos que as frações e são frações equivalentes, o que denotamos por:

Quando, e somente quando, tivermos ou seja

Exemplos:

Propriedades de equivalência de frações:[editar | editar código-fonte]

  1. (reflexiva)
  2. (simétrica)
  3. e (transitiva)

Classe de frações[editar | editar código-fonte]

[3]A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Usualmente trabalhamos com a fração irredútivel deste conjunto. A cada classe de equivalência de fração associamos um número racional.

Classe significa o mesmo que conjunto e é usada quando um conjunto de objetos matemáticos são, de alguma maneira, todos equivalentes entre si.

Exemplo: neste caso

O número zero racional consiste na classe Ele é o único número racional que tem representações fracionárias, tanto com numerador e denominador de sinais iguais, como de sinais opostos.

Ordenação dos racionais[4][editar | editar código-fonte]

A relação de ordem entre números racionais sempre é estabelecida a partir de representações fracionárias de denominadores positivos.

Dados dois números racionais e

Teorema:

O corpo tem a estrutura de corpo ordenado, ou seja, é um corpo no qual a relação de ordem verifica as duas seguintes propriedades:

Sendo

Propriedade arquimediana em [editar | editar código-fonte]

Dado um número racional para cada escolha de sempre é possível encontrar  tal que 

e onde é o menor possível.

Sabemos então que quando porém não temos como determinar o menor racional que seja maior que Então basta tomarmos um Por exemplo:

Densidade dos racionais[editar | editar código-fonte]

Um conjunto de números racionais é dito denso (em ) se entre dois quaisquer  elementos distintos de existam infinitos elementos de ou seja, entre os dois elementos de dados, existem infinitos intermediários que estão em

Teorema:

A média aritmética de quaisquer dos números racionais sempre é um número intermediário entre eles. Se

Hipótese:

Tese:

Temos que

Então,

Representação decimal[editar | editar código-fonte]

Podemos passar um número racional para a forma decimal dividindo o inteiro pelo inteiro com isso podemos obter dois casos:

  1. Um número decimal que tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, uma decimal exata. Exemplos: e
  2. Um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, uma dízima periódica. Exemplos:
    • dízima periódica simples
    • dízima periódica simples
    • dízima periódica composta

Todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração portanto, representa um número racional.

Quando a decimal é exata, podemos escrevê-lo em forma de fração, cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e, cujo denominador é o algarismo seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplo:

Quando a decimal é uma dízima periódica, temos que procurar sua geratriz. Exemplos:

Referências

  1. Diccionario básico Latino Español/ Español latino ISBN 84-7153-223-9
  2. Iezzi, Gelson (2004). Fundamentos de matemática elementar,1: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. ISBN 9788535704556 
  3. «classe de equivalência de frações» (PDF). Consultado em 22 de agosto de 2016 
  4. Ripoll, Cydara Cavedon (2011). Números Racionais, Reais e Complexos. Porto Alegre: UFRGS. ISBN 9788538601289 


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