Média aritmética

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Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média.

Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro;[1] em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

(média aritmética)
(média geométrica)
(média harmônica)

que, após transformações, chegam às fórmulas:

(média aritmética)
(média geométrica)
(média harmônica)

Tipos de média aritmética[editar | editar código-fonte]

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

  • Média aritmética simples

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo . Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

  • Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: , de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação", respectivamente, indicado por: . A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será ou seja
  • Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será . Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso, e não importa qual o valor do peso, importando apenas a relação entre os pesos, a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3), obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior 10 e 4, teríamos: . O resultado para pesos iguais será sempre "7". Veja: .
  • Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

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