Média aritmética

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Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média.

Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro;[1] em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

x - m = m - y\, (média aritmética)
\frac{m}{y} = \frac{x}{m}\, (média geométrica)
\frac{x - m}{x} = \frac{m - y}{y}\, (média harmônica)

que, após transformações, chegam às fórmulas:

m = \frac {x + y}{2}\, (média aritmética)
m = \sqrt {x y}\, (média geométrica)
\frac{1}{m} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\, (média harmônica)

Tipos de média aritmética[editar | editar código-fonte]

Há dois tipos de média aritmética - simples ou ponderada.

  • Média aritmética simples

A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pelo símbolo \bar{x}. Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + .. .. + x_n}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{x_i}
  • Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: x_1, x_2, \ldots, x_n, de forma que cada um esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinônimo de "ponderação", respectivamente, indicado por: p_1, p_2, \ldots, p_n. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um multiplicados por seus respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos, isto é:

\bar{p} = \frac{x_1 p_1 + x_2 p_2 + .. .. + x_n p_n}{p_1 + p_2 + .. .. + p_n}

Obviamente, a média aritmética e a média ponderada podem ser generalizadas para estruturas algébricas mais complexas; a única restrição é que a soma dos pesos seja um número invertível (em particular, não pode ser zero).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Um aluno tirou as notas 5, 7, 9 e 10 em quatro provas. A sua média será \frac{5 + 7 + 9 + 10}{4} = 7,75 ou seja \frac{31}{4} = 7,75
  • Um aluno fez um teste (peso 1) e uma prova (peso 2), tirando 10 no teste e 4 na prova. A sua média (ponderada) será \frac{10 * 1 + 4 * 2}{1 + 2} = \frac{10 + 8}{3} = 6. Logo, o resultado da média aritmética ponderada para este exemplo é 6. Se o teste e a prova tivessem mesmo peso, e não importa qual o valor do peso, importando apenas a relação entre os pesos, a média ponderada aritmética seria sempre 7. Isto é, se o aluno fizesse um teste (peso 3) e uma prova (peso 3), obtendo respectivamente a mesma pontuação anterior 10 e 4, teríamos: {\frac  {10*3+4*3}{3+3}}={\frac  {30+12}{6}}=7. O resultado para pesos iguais será sempre "7". Veja: \frac{30 + 12}{6} = 7.
  • Um triângulo no plano tem vértices dados pelas coordenadas cartesianas (2, 1), (4, -1) e (3, 6). O seu baricentro é a média dos vértices, ou seja (3, 2).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

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