Distribuição binomial

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Distribuição Binomial
Binomial distribution PDF.svg
Densidade de probabilidade
A cor amarela representa a função f de densidade de probabilidade da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Binomial distribution CDF.svg
Função de distribuição acumulada
A cor amarela representa a função F de distribuição acumulada da distribuição Binomial ~ Bin(10,0.5)
Parâmetros número de ensaios

probabilidade de sucesso em cada ensaio

Suporte
f.d.p.
Média
Mediana ou
Moda ou
Variância
Obliquidade
Curtose
Entropia
Função Geradora de Momentos
Função Característica


Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de tentativas tais que:

  1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli), e;
  2. Cada tentativa é independente das demais, e;
  3. A probabilidade de sucesso a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
  4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos nas tentativas.

Função de probabilidade[editar | editar código-fonte]

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

para e onde é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:

A combinação contém as ordenações possíveis;
O número de sucesso é , e;
A probabilidade de fracassos é .

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

Assim, a resposta é:

Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, , é dada por:

Valor esperado e variância[editar | editar código-fonte]

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

e a variância é

Ligações externas[editar | editar código-fonte]