Distribuição binomial

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Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que:

  1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli), e;
  2. Cada tentativa é independente das demais, e;
  3. A probabilidade de sucesso a cada tentativa p permanece constante independente das demais, e;
  4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos k nas ntentativas.

Função de probabilidade[editar | editar código-fonte]

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

f(k;n,p)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,

para k=0,1,2,\dots,n e onde {n\choose k} é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

f(k;n,p) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\ {p^k} {(1 - p)^{n-k}}

Cada parte da função acimatraduz os seguintes dados:

A combinação \frac{n!}{k!(n-k)!} contém as ordenações possíveis;
O número de sucesso é {p^k}, e;
A probabilidade de fracassos é (1 - p)^{n-k}.

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

f(k;n,p) = \frac{p}{1-p} \frac{n-k+1}{k} f(k-1;n,p)

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

f(2;3,\frac{1}{6})={3\choose 2}\times\left(\frac{1}{6}\right)^2\times\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-2}\,
=\frac{3!}{2!\cdot\left(3-2\right)!}\,\!\times\frac{1}{36}\times(\frac{5}{6})^{1}\,
=\frac{3}{1}\times\frac{1}{36}\times\frac{5}{6}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}\,

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

f(3;3,\frac{1}{6})={3\choose 3}\times\frac{1}{6}^3\times(1-\frac{1}{6})^{3-3}\,
=\frac{3!}{3!\cdot\left(3-3\right)!}\,\!\times\frac{1}{216}\times(\frac{5}{6})^{0}\,
=\frac{3!}{3!}\times\frac{1}{216}\times1\,
=\frac{3!}{3!} = \frac{6}{6} = 1
=1\times\frac{1}{216}\times1=\frac{1}{216}\,

Assim, a resposta é:

=\frac{15}{216}+\frac{1}{216}=\frac{16}{216}\,
Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, P(X = 5), é dada por:

\!k = 5, n = 12, p = 0,5

\!f(5;12;0,5) = {12 \choose 5} 0,5 ^ 5 (1 - 0,5) ^ {12 - 5} = 0,19

Valor esperado e variância[editar | editar código-fonte]

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

E[X]=np\,

e a variância é

\mbox{var}(X)=np(1-p).\,

Ligações externas[editar | editar código-fonte]