Distribuição binomial

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Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de tentativas tais que:

  1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli), e;
  2. Cada tentativa é independente das demais, e;
  3. A probabilidade de sucesso a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
  4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos nas tentativas.

Função de probabilidade[editar | editar código-fonte]

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

para e onde é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:

A combinação contém as ordenações possíveis;
O número de sucesso é , e;
A probabilidade de fracassos é .

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

Assim, a resposta é:

Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, , é dada por:

Valor esperado e variância[editar | editar código-fonte]

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

e a variância é

Ligações externas[editar | editar código-fonte]