Distribuição de probabilidade

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Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Ela é uma função cujo domínio são os valores da variável e cuja imagem são as probabilidades de a variável assumir cada valor do domínio. O conjunto imagem deste tipo de função está sempre restrito ao intervalo entre 0 e 1.

Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

Distribuições de probabilidade para variáveis discretas[editar | editar código-fonte]

Para este tipo de variável, a distribuição de probabilidade representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir um certo valor x: P(X=x). A soma de todas as possibilidade que o x pode assumir terá o valor 1 (100%). As funções de distribuição de probabilidade para variáveis discretas mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuição Função de Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
de Boltzmann Exemplo Exemplo E
Bernoulli 
    \begin{cases}
    q=(1-p) & \text{para }k=0 \\ p & \text{para }k=1
    \end{cases}
    E\left(X\right)=p \textrm{Var}\left(X\right)=p\left(1-p\right) Be~(p)
binomial P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}  \operatorname{E}[X] = np   \operatorname{Var}[X] = np(1 - p) B~(p,n)
Binomial negativa Exemplo Exemplo Exemplo BN~(r,p)
geométrica Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo
hipergeométrica Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo
de Poisson f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, E \left [ X \right ] = \lambda  \operatorname{Var}[X] = \lambda Poisson~(\lambda )

Distribuições de probabilidade para variáveis contínuas[editar | editar código-fonte]

Para este tipo de variável, a função distribuição de probabilidade representa a probabilidade de X assumir um valor num intervalo infinitesimal x+ \delta x. funções de distribuição de probabilidade mais famosas são (para todos os casos, a letra "e" significa o número neperiano):

Distribuições em intervalos limitados[editar | editar código-fonte]

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
f(x,\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\beta - \alpha}, & \mbox{se }\alpha \le x \le \beta \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{matrix}\right. 1 \mathrm{E}[X] = \frac{\alpha + \beta}{2} \mathrm{Var}[X] = \frac{(\beta - \alpha)^2}{12} X \sim U(\alpha,\beta)
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
 f(x,\alpha,\beta)= \frac{1}{B(\alpha, \beta)}x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}, 0<x<1,\alpha>0,\beta>0, sendo que B denota a função beta: B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1} x^{\alpha - 1}(1-x)^{\beta - 1}\, dx 2 \mathrm{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \mathrm{Var}[X] = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)} Exemplo

Distribuições em intervalos semi infinitos[editar | editar código-fonte]

Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
f(x|\alpha,\beta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha }, & \mbox{se }x>0 \\ 0, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right. , sendo a função gama \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{\alpha - 1}\, dx, \alpha > 0 3 \mathrm{E}[X] = \alpha \beta \mathrm{Var}[X] = \alpha \beta^2 X \sim Gama(\alpha,\beta)
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
f(x,v)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\Gamma(v/2)2^{v/2}}x^{v/2 - 1}, & \mbox{se }x>0 \\ 0, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right. , sendo \Gamma(v/2) a função gama conforme definido acima 4 \mathrm{E}[X] = v \mathrm{Var}[X] = 2v X \sim \chi^2(v)
Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
f(x,\beta), \beta >0=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\beta}e^{-x/ \beta}, & \mbox{se }x \ge 0 \\ 0, & \mbox{caso contrário} \end{matrix}\right. 5 \mathrm{E}[X] = \beta > 0 \mathrm{Var}[X] = \beta^2 X \sim Exp(\beta)

Distribuições em intervalos infinitos[editar | editar código-fonte]

Nome da distribuição Distribuição de probabilidade da variável aleatória X Esperança (1º momento) Variância (2º momento) Notação
Cauchy f(x; \theta ) = \frac{1} {\pi} \frac {1}{ \left [ 1+(x-\theta)^2 \right ] }, se - \infty < x < + \infty e - \infty < \theta < + \infty Não existe (é infinita) 6 Não existe (é infinita) 6 Exemplo
log-normal Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo
Normal f(x; \mu,\sigma^2 ) = \frac{1} {\sigma\sqrt{2 \pi }} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, se - \infty < x < + \infty 7 \mathrm{E}[X] = \mu < \infty \mathrm{Var}[X] = \sigma^2 < \infty X \sim N(\mu,\sigma^2)
Logística (parece a distribuição normal mas sua cauda é maior (mais curtose)) f(x; \mu,s) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2} Exemplo Exemplo x.
de Pareto Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo
de Weibull Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b BUSSAB & MORETTIN (2002), p. 173
  2. CASELLA & BERGER (2010), p. 95.
  3. BUSSAB & MORETTIN (2002), p. 186
  4. BUSSAB & MORETTIN (2002), p. 187
  5. BUSSAB & MORETTIN (2002), p. 180
  6. a b CASELLA & BERGER (2010), p. 97.
  7. BUSSAB & MORETTIN (2002), p. 175

Referências[editar | editar código-fonte]

  • BUSSAB, Wilton de O. e MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002. 5ª edição. ISBN 85-02-03497-9.
  • CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte- americana. São Paulo: Centage learning, 2010. ISBN 978-0-495-39187-6.