Função indicadora

A função característica de $\mathbb {R} ^{+}$.

Na matemática, a função indicadora de um conjunto é a função que indica se o elemento pertence ao conjunto, assumindo neste caso o valor 1, e 0 em caso contrário. Em algumas áreas da matemática, também é chamada de função característica.

Formalização matemática

A função indicadora de um conjunto A é denotada por $I_{A}(x)$, $I\left(x\in A\right)$), $A(x)$ ou $\chi _{A}(x)$. A letra grega χ é usada por ser a letra inicial da palavra grega que corresponde a característica.

Formalmente, a função indicadora de um conjunto A é a função:

$\mathbf {I} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace$

definida por

$\mathbf {I} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\in A^{c}=X-A.\end{matrix}}\right.$

Os colchetes de Iverson permitem a notação compacta $[x\in A]$.

Propriedades da função indicadora

1. Se $A\subset B$, então $\mathbf {I} _{A}\leq \mathbf {I} _{B}$
2. $\mathbf {I} _{\Omega }=1$
3. $\mathbf {I} _{A^{c}}=1-\mathbf {I} _{A}$
4. $\mathbf {I} _{A\cap B}=\min(\mathbf {I} _{A},\mathbf {I} _{B})$
5. $\mathbf {I} _{A\cup B}=\max(\mathbf {I} _{A},\mathbf {I} _{B})$

Ligações externas

• Funções Características