Distribuição exponencial

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A função densidade de probabilidade da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.
A função distribuição acumulada da distribuição exponencial para diferentes valores de λ.

A distribuição exponencial é um tipo de distribuição contínua de probabilidade, representada por um parâmetro \lambda. Sua função de densidade pode ser expressa de duas maneiras equivalentes:

Em linguagem matemática Em Português
 f(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix}{\color{Red}\lambda e^{-\lambda x}} &,\; x \ge 0, \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right.  = \left\{\begin{matrix}{\color{Red}\frac{1}{\lambda} e^{\frac{-x}{\lambda}}} &,\; x \ge 0, \lambda > 0 \\ 0 &,\; x < 0. \end{matrix}\right. 1 A probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor não negativo no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é {\color{Red}\lambda e^{-\lambda x}}. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor negativo é zero.

Repare que existe uma família de distribuições exponenciais (e não apenas uma) - cada uma com um \lambda (parâmetro lambda) diferente.

E sua função acumulada:

Em linguagem matemática Em Português
 F(x;\lambda) = \left\{\begin{matrix}
{\color{Red}1-e^{-\lambda x}}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a certo valor x* é {\color{Red}1-e^{-\lambda x}}, se x* for não-negativo, e 0, em caso contrário.


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Valor Esperado[editar | editar código-fonte]

\mathrm{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \!

Variância[editar | editar código-fonte]

\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{\lambda^2} \!

Falta de Memória[editar | editar código-fonte]

Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial, então sua probabilidade condicional obedece a equação:

P(X > s + t\; |\; X > s) = P(X > t) \;\; \hbox{para todo}\ s, t \ge 0. .

Isso significa que a probabilidade de que seja necessário esperar, por exemplo, mais que 30 segundos até que o evento aconteça, dado que esse evento não aconteceu antes de 20 segundos, é a mesma de que esse evento ocorra depois dos 10 segundos iniciais.

Função Característica[editar | editar código-fonte]

\varphi_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - it}\ \hbox{com}\ it < \lambda\ \hbox{e}\ i = \sqrt{-1}

Distribuições relacionadas[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. WALPOLE, Ronald E.; MYERS, Raymond H.; MYERS, Sharon L. e YE, Keying. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Education International. ISBN 0132047675. Página 196.
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