Medida de Dirac

Um diagrama mostrando todos os subconjuntos possíveis para um conjunto de 3 pontos $\{x,y,z\}$. A medida de Dirac $\delta _{x}$ designa um tamanho de 1 para todos os conjuntos na metade superior esquerda do diagrama e 0 para todos os conjuntos na metade inferior direita.

Em matemática, uma medida de Dirac designa um tamanho a um conjunto baseado somente em se ele contém um ponto fixo x ou não. É uma forma de formalizar a ideia da função delta de Dirac, uma importante ferramenta em física e engenharia.

Definição

Uma medida de Dirac é uma medida δ_x  em um conjunto X (com qualquer σ-algebra de subconjuntos de X) definida para um dado x ∈ X e qualquer conjunto (mensurável) A ⊆ X por

$\delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}$

onde $1_{A}$ é a função indicadora de $A$.

A medida de Dirac é uma medida de probabilidade, e em termos de probabilidade ela representa o resultado quase certo de x no espaço amostral X. Também podemos dizer que a medida é um único átomo em x; no entanto, tratar a medida de Dirac como uma medida atômica não é correto quando consideramos a definição sequencial do delta de Dirac, como o limite de uma sequencia de delta. As medidas de Dirac são os pontos extremos do conjunto convexo de medidas de probabilidade em X.

O nome é uma derivação regressiva da função delta de Dirac, considerada como uma distribuição Schwartz, por exemplo na reta real; medidas podem ser tomadas para ser um tipo especial de distribuição. A identidade

$\int _{X}f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x),$

a qual, na forma

$\int _{X}f(y)\delta _{x}(y)\,\mathrm {d} y=f(x),$

é frequentemente tomada como parte da definição da "função de delta", está como um teorema da integral de Lebesgue.

Propriedades da medida de Dirac

Seja δ_{x a medida de Dirac centrada em algum ponto fixo x e em algum espaço mensurável (X, Σ).}

• δ_x é a medida de probabilidade, e por tanto uma medida finita.

Suponha que (X,T) é um espaço topológico e que Σ é ao menos tão fina quanto a σ-algebra de Borel σ(T) em X.

• δ_x  é uma medida estritamente positiva se e somente se a topologia T é tal que x encontra-se dentre cada conjunto aberto e não vazio, e.x. no caso da topologia trivial {∅, X}.
• Desde que  δ_x é a medida de probabilidade, ela é também uma medida localmente finita.
• Se X é um espaço de Hausdorff com sua σ-algebra de Borel, então δ_x  satisfaz a condição para ser uma medida regular interna, uma vez que conjuntos unitários como {x} são sempre compactos. Por tanto, δ_x é também uma medida de Radon.
• Assumindo que a topologia T é fina o suficiente que {x} é fechado, o que é o caso na maioria das aplicações, o suporte de δ_x é {x}. (De outra forma supp(δ_x) é o fechamento de {x} em (X,T).) Além disso,  δ_x é a única medida de probabilidade cujo suporte é {x}.
• Se X é um espaço Euclidiano n-dimensional Rⁿ com sua σ-algebra usual e media de Lebesgue n-dimensional λⁿ, então δ_x é uma medida singular com respeito à  λⁿ: simplesmente decomGonha Rⁿ como A = Rⁿ \ {x} e B={x} e observe que δ_x(A) = λⁿ(B) = 0.

Generalizações

Uma medida discreta é similar à medida de Dirac, exceto que ela é concentrada em muitos pontos contáveis, ao invés de um único ponto. Mais formalmente, a medida na reta real é chamada de medida discreta (em respeita à medida de Lebesgue) se seu suporte é no máximo um conjunto contável.

Ver também

• Delta de Dirac