Ponte browniana

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Movimento browniano fixado nos dois extremos. Aqui se usa uma ponte browniana.

Uma ponte browniana é um processo estocástico de tempo contínuo cuja distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade condicional de um processo de Wiener (um modelo matemático do movimento browniano) sujeito à condição de que , de modo que o processo esteja fixado na origem tanto em , como em .[1] Mais precisamente,

O valor esperado da ponte é zero, com variância , implicando que a maior incerteza está no meio da ponte, com zero incerteza nos nós. A covariância de e é se . Os incrementos na ponte browniana não são independentes

Relação com outros processos estocásticos[editar | editar código-fonte]

Se for um processo de Wiener padrão, isto é, se para , for normalmente distribuído com valor esperado 0 e variância e os incrementos forem estacionários e independentes, então

é uma ponte browniana para . Isto é independente de .[2]

Reciprocamente, se for uma ponte browniana e for uma variável aleatória normal padrão independente de , então o processo

é um processo de Wiener para . De forma mais generalizada, um processo de Wiener para pode ser decomposto em

Outra representação da ponte browniana baseada no movimento browniano é, para ,

Reciprocamente, para ,

A ponte browniana pode também ser representada como uma série de Fourier com coeficientes estocásticos, conforme

em que são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas, como exposto pelo teorema de Karhunen-Loève.

Uma ponte browniana é o resultado do teorema de Donsker na área dos processos empíricos. Também é usado no teste Kolmogorov–Smirnov na área de inferência estatística.

Considerações intuitivas[editar | editar código-fonte]

Um processo de Wiener padrão satisfaz a condição , sendo portanto "amarrado" à origem, mas os outros pontos não são restritos. Em um processo de ponte browniana , por outro lado, não só , mas também se exige que , isto é, que o processo esteja "amarrado" em da mesma forma. Assim como uma ponte é sustentada por pilares nos dois extremos, exige-se que uma ponte browniana satisfaça condições nos dois extremos do intervalo . Em uma ligeira generalização, exige-se que e , em que , , e são constantes conhecidas.[3]

Suponha que foi gerada uma quantidade de pontos , , , de um caminho de processo de Wiener por simulação de computador. Deseja-se preencher espaços com pontos adicionais no intervalo , isto é, fazer a interpolação entre os pontos já gerados e . A solução é usar uma ponte browniana, da qual se exige que vá pelos valores e .

Caso geral[editar | editar código-fonte]

Para o caso geral em que e , a distribuição de no tempo é normal, com média

e covariância entre e , com ,

[3]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Glasserman, Paul (9 de março de 2013). Monte Carlo Methods in Financial Engineering (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387216171 
  2. Mansuy, Roger; Yor, Marc (16 de setembro de 2008). Aspects of Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540499664 
  3. a b Revuz, Daniel; Yor, Marc (29 de junho de 2013). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662217269