Processo de Wiener

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Uma representação simples de um processo de Wiener unidimensional

Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.

Uma representação simples de um processo de Wiener tridimensional

O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.[2]

O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.

Caracterizações do processo de Wiener[editar | editar código-fonte]

O processo de Wiener é caracterizado pelas seguintes propriedades:[4][5]

  1. q.c.
  2. tem incrementos independentes: para todo , os incrementos futuros , , são independentes dos valores passados , .
  3. tem incrementos gaussianos: é normalmente distribuído com média e variância ,
  4. tem caminhos contínuos: com probabilidade , é contínuo em .

Por incrementos independentes, diz-se que, se , então e são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com e variação quadrática (o que significa que é também um martingale).

Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes . Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de ao tempo ) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância e média .

O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que

é um processo de Wiener para qualquer constante não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas , com , induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.

Processo de Wiener como um limite do passeio aleatório[editar | editar código-fonte]

Considere variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e variância . Para cada , defina um processo estocástico de tempo contínuo

Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de são independentes porque são independentes. Para grande, é próximo de pelo teorema central do limite. Conforme , se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.[6]

Propriedades de um processo de Wiener unidimensional[editar | editar código-fonte]

Propriedades básicas[editar | editar código-fonte]

A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a e variância igual a , em um tempo fixado :

O valor esperado é zero:

A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:

Covariância e correlação[editar | editar código-fonte]

A covariância e a correlação:

Os resultados para o valor esperado e a variância seguem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal, centrada em zero. Assim

Os resultados para a covariância e a correlação seguem da definição de que incrementos não sobrepostos são independentes, da qual apenas a propriedade de que eles não são correlacionados é usada. Suponha que .

Substituindo

Chegamos em:

Já que e são independentes,

Assim

Representação de Wiener[editar | editar código-fonte]

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier. Se são variáveis gaussianas independentes com média e variância , então

e

representa um movimento browniano em . O processo escalado

é um movimento browniano em (vide teorema de Karhunen-Loève).

Máximo corrente[editar | editar código-fonte]

A distribuição conjunta do máximo corrente

e é

Para obter a distribuição incondicional de , integra-se ao longo de :

E o valor esperado[7]

Se em o processo de Wiener tem um valor conhecido , é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo (vide a distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener).

Autossemelhança[editar | editar código-fonte]

Uma demonstração do escalamento browniano, mostrando que para c decrescente. Note que as características gerais da função não mudam enquanto se aproxima e que a velocidade da ampliação na horizontal é igual ao quadrado da velocidade da ampliação na vertical.

Escalamento browniano[editar | editar código-fonte]

Para todo , o processo é outro processo de Wiener.

Reversão de tempo[editar | editar código-fonte]

O processo para é distribuído como para .

Inversão de tempo[editar | editar código-fonte]

O processo é outro processo de Wiener.

Uma classe de martingales brownianos[editar | editar código-fonte]

Se uma função polinomial satisfaz a equação diferencial parcial

então o processo estocástico

é um martingale.

Exemplo: é um martingale, que mostra que a variação quadrática de em é igual a . Segue-se que o tempo de primeira saída esperado de de é igual a .

Mais geralmente, para toda função polinomial , o seguinte processo estocástico é um martingale:

em que é a função polinomial

Exemplo: o processo

é um martingale, que mostra que a variação quadrática do martingale on [0, t] é igual a

Algumas propriedades de caminhos amostrais[editar | editar código-fonte]

O conjunto de todas as funções com estes propriedades é composto inteiramente por medidas de Wiener. Isto é, um caminho (função amostral) do processo de Wiener tem todas estas propriedades quase certamente.

Propriedades qualitativas[editar | editar código-fonte]

  • Para todo , a função assume tanto valores (estritamente) positivos, como (estritamente) negativos em .
  • A função é contínua em todo lugar, mas diferenciável em lugar nenhum (assim como a função de Weierstrass).
  • Pontos do máximo local da função são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes por pares; cada máximo local é agudo na seguinte acepção: se tem um máximo local em , então
O mesmo se aplica a mínimos locais.
  • A função não tem nenhum ponto de crescimento local, isto é, nenhum satisfaz as seguintes condições para algum em : em primeiro lugar, para todo em , e em segundo lugar, para todo em . O crescimento local é uma condição mais fraca do que aquela referente ao crescimento de em . O mesmo se aplica ao decrescimento local.
  • A função é de variação limitada em todo intervalo.
  • A variação quadrática de ao longo de é .
  • Os zeros da função são um conjunto perfeito denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff (portanto, incontável).

Propriedades quantitativas[editar | editar código-fonte]

Lei do logaritmo iterado[editar | editar código-fonte]
Módulo de continuidade[editar | editar código-fonte]

Módulo local de continuidade:

Módulo global de continuidade (Lévy):

Tempo local[editar | editar código-fonte]

A imagem da medida de Lebesgue em sob o mapa (a medida imagem) tem uma densidade . Assim,

para uma ampla classe de funções (nomeadamente, todas as funções contínuas, todas as funções localmente integráveis, todas as funções não negativas mensuráveis). A densidade é (mais exatamente, pode ser e será escolhida como) contínua. O número é chamado de tempo local em de ao longo de . É estritamente positiva para todo do intervalo , em que e são o menor e o maior valor de em , respectivamente. Para fora deste intervalo, o tempo local evidentemente desaparece. Tratado como uma função de duas variáveis e , o tempo local é ainda contínuo. Tratado como uma função de (em que está fixado), o tempo local é uma função singular correspondente à medida não atômica sobre o conjunto de zeros de .

Estas propriedades de continuidade são razoavelmente não triviais. Considere que o tempo local também possa ser definido (como a densidade da medida imagem) para uma função suave. Por consequência, entretanto, a densidade é descontínua, a não ser que a função dada seja monótona. Em outras palavras, há um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de seu tempo local. Neste sentido, a continuidade do tempo local para o processo de Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória

Processos relacionados[editar | editar código-fonte]

Processos de Wiener com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).
Processos de Wiener bidimensionais com deriva (azul) e sem deriva (vermelho).
Um gerador de movimento browniano é o produto do operador de Laplace-Beltrami por 0,5. A imagem acima é de um movimento browniano em uma variedade especial: a superfície de uma esfera.

O processo estocástico definido por

é chamado de processo de Wiener com deriva e variância infinitesimal . Estes processos representam todos os processos de Lévy contínuos.

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo aparecem, grosso modo, quando se condiciona o processo de Wiener a desaparecer nos dois extremos de . Quando não se condiciona mais, o processo assume tanto valores positivos, como negativos em e é chamado de ponte browniana. Condicionado a permanecer positivo em , o processo é chamado de excursão browniana.[8] Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, já que a fórmula não se aplica quando .

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito como

É um processo estocástico usado para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, tais como os valores de ações.

O processo estocástico

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck.

O tempo de chegada a um único ponto pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com distribuição de Lévy. A família destas variáveis aleatórias (indexadas por todos os números positivos ) é uma modificação contínua à esquerda do processo de Lévy. A modificação contínua à direita deste processo é dada pelos tempos de primeira saída a partir de intervalos fechados .

O tempo local de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto . Formalmente,

em que é a função delta de Dirac. O comportamento do tempo local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight.

Martingales brownianos[editar | editar código-fonte]

Considere um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente, um conjunto, mensurável no que se refere à medida de Wiener, no espaço de funções), e a probabilidade condicional de dado o processo de Wiener no intervalo de tempo (mais formalmente, a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em pertence a ). Então, o processo é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale deriva imediatamente das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial – um caso especial de um teorema geral que afirma que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana, sendo esta, por definição, a filtração gerada pelo processo de Wiener.

Movimento browniano integrado[editar | editar código-fonte]

A integral do tempo do processo de Wiener

é chamada de movimento browniano integrado ou processo de Wiener integrado. Aparece em muitas aplicações e pode-se mostrar por cálculo que tem distribuição , usando o fato de que a covariância do processo de Wiener é .[9]

Mudança de tempo[editar | editar código-fonte]

Todo martingale contínuo (a partir da origem) é um processo de Wiener com tempo mudado.

Exemplo: , em que é outro processo de Wiener (diferente de , mas distribuído como ).

Exemplo: , em que e é outro processo de Wiener.

Geralmente, se for um martingale contínuo, então , em que é a variação quadrática de em e é um processo de Wiener.

Corolário: Considere um martingale contínuo e

Então, apenas os dois casos seguintes são possíveis:

outros casos (tais como   , etc.) são de probabilidade .

Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como ) quase certamente.

Tudo o que foi afirmado nesta subseção sobre martingales também se aplica a martingales locais.

Mudança de medida[editar | editar código-fonte]

Uma classe ampla de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida.

Usando este fato, as propriedades qualitativas afirmadas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma classe ampla de semimartingales contínuos.[10][11]

Processo de Wiener de valores complexos[editar | editar código-fonte]

O processo de Wiener de valores complexos pode ser definido como um processo aleatório de valores complexos da forma em que são processos de Wiener independentes (de valores reais).[12]

Autossemelhança[editar | editar código-fonte]

O escalamento browniano, a reversão de tempo e a inversão de tempo são iguais aos do caso com valores reais.

Quanto à invariância de rotação, para cada número complexo tal que , o processo é outro processo de Wiener de valores complexos

Mudança de tempo[editar | editar código-fonte]

Se for uma função inteira, então, o processo é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo.

Exemplo: em que

e é outro processo de Wiener de valores complexos.

Em contraste com o caso de valores reais, um martingale de valores complexos geralmente não é um processo de Wiener de valores complexos com mudança de tempo. Por exemplo, o martingale 2Xt + iYt não é (aqui são processos de Wiener independentes, assim como antes).

Ver também[editar | editar código-fonte]

Generalidades

Amostragem de caminhos

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Einstein, Albert (1 de janeiro de 2005). Einstein's Miraculous Year: Five Papers that Changed the Face of Physics (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 9780691122281 
  2. Stark (1 de setembro de 2002). Probability And Random Processes With Application To Signal Processing, 3/E (em inglês). [S.l.]: Pearson Education. ISBN 9788177583564 
  3. Kleinert, Hagen (1 de janeiro de 2009). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789814273558 
  4. Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (17 de abril de 2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783662126165 
  5. Durrett, Rick (30 de agosto de 2010). Probability: Theory and Examples (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9781139491136 
  6. «MathFinance 345». www.stat.uchicago.edu. Consultado em 20 de abril de 2017 
  7. Shreve, Steven E. (3 de junho de 2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9780387401010 
  8. Vervaat, Wim (1 de fevereiro de 1979). «A Relation between Brownian Bridge and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 7 (1): 143–149. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995155 
  9. «Wiener Integral - wilmott.com». forum.wilmott.com (em inglês). Consultado em 20 de abril de 2017 
  10. Revuz, Daniel; Yor, Marc (7 de setembro de 2004). Continuous Martingales and Brownian Motion (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783540643258 
  11. Doob, Joseph L. (1 de janeiro de 1953). Stochastic Processes (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9780471218135 
  12. Navarro-Moreno, J.; Estudillo-Martinez, M. D.; Fernandez-Alcala, R. M.; Ruiz-Molina, J. C. (1 de junho de 2009). «Estimation of Improper Complex-Valued Random Signals in Colored Noise by Using the Hilbert Space Theory». IEEE Transactions on Information Theory. 55 (6): 2859–2867. ISSN 0018-9448. doi:10.1109/TIT.2009.2018329 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]