Teorema de Donsker

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Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.[1]

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja  uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja . O processo estocástico é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

O teorema central do limite afirma que  converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão  conforme . O princípio da invariância de Donsker[1][2] extende essa convergência para toda a função . Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod , a função aleatória  converge em distribuição para um movimento browniano padrão  conforme

Seja  a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d.  com função de distribuição . Definindo a versão centrada e reduzida de por

indexadas por . Pelo teorema central do limite clássico, para fixo, a variável aleatória converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal , com média zero e variância de conforme o tamanho da amostra cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) — A sequência de Gn(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod , converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

O processo pode ser escrito como , onde é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

História[editar | editar código-fonte]

Em 1933, Kolmogorov mostrou que, quando é contínuo, o supremo  e o supremo de valor absoluto, converge em distribuição para as leis dos mesmos funcionais da ponte browniana . Doob, em 1949, perguntou se a convergência em distribuição se mantinha para funcionais mais gerais, assim formulando um problema de convergência fraca de funções aleatórias em um espaço de função adequado.[3]

Em 1952, Donsker afirmou e provou, apesar de com falhas,[4] uma extensão geral para a abordagem heurística de Doob-Kolmogorov. No artigo original, Donsker provou que a convergência na lei de  para a ponte browniana se mantém para distribuições uniformes  com relação à convergência uniforme em sobre o intervalo .[2]

No entanto, a formulação de Donsker não estava totalmente correta, por conta do problema da mensurabilidade dos funcionais de processos descontínuos. Em 1956, Skorokhod e Kolmogorov definiram uma métrica separável , chamada métrica de Skorokhod, no espaço de funções càdlàg em , tal que a convergência para para uma função contínua é equivalente a convergência para o supremo da norma, e mostrou que converge na lei em  para a ponte browniana.

Mais tarde, Dudley reformulou o resultado de Donsker para evitar o problema de mensurabilidade e a necessidade da métrica de Skorokhod. Pode-se provar[4] que existe , i.i.d. uniforme em e uma seqüência de pontes brownianas  de amostragem contínua, tais que

é mensurável e converge em probabilidade para 0. Uma versão melhorada deste resultado, que fornece mais detalhes sobre a taxa de convergência, é a aproximação de Komlós–Major–Tusnády.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b Donsker, M.D. (1951). «An invariance principle for certain probability limit theorems». Memoirs of the American Mathematical Society, 1951, no. 6 
  2. a b Donsker, M. D. (1952). «Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 23: 277–281. MR 47288. Zbl 0046.35103. doi:10.1214/aoms/1177729445 
  3. Doob, Joseph L. (1949). «Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems». Annals of Mathematical Statistics. 20: 393–403. MR 30732. Zbl 0035.08901. doi:10.1214/aoms/1177729991 
  4. a b Dudley, R.M. (1999). Uniform Central Limit Theorems. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46102-2