Lei do logaritmo iterado

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Plot de (vermelho), o desvio padrão (azul) e o limite dado pela LIL (verde). Note que ele muda de forma aleatória do limite superior para o inferior. Os eixos não são lineares para fazer esse efeito mais visível.

Na teoria das probabilidades, a lei do logaritmo iterado (também chamada de LIL, do inglês law of iterated logarithm) descreve a magnitude da oscilação do passeio aleatório. A definição original desta lei foi feita pelo matemático soviético Aleksandr Khinchin em 1924.[1] No entanto, a tese contida nesta foi expandida por Andrei Kolmogorov em 1929.[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e desvio unitário. Seja . Então,

onde é o logaritmo natural, indica o limite superior, e significa "quase certamente".[3][4]

Discussão[editar | editar código-fonte]

A lei de iterado logaritmos opera "entre" a lei dos grandes números e o teorema central do limite. Existem duas versões da lei dos grandes números — a fraca e a forte — e ambas afirmam que as somas , dimensionadas por , convergem para zero, respectivamente em probabilidade e quase certamente:

Por outro lado, o teorema central do limite afirma que as somas dimensionadas pelo fator convergem em distribuição para uma distribuição normal padrão. Pela lei zero-um de Kolmogorov, para qualquer fixo, a probabilidade de que o evento ocorra é 0 ou 1. Então

o que resulta que

Argumento idêntico mostra que

Isto implica que essas quantidades não convergem quase certamente. Ainda, eles também não convergem em probabilidade, o que resulta da igualdade

e o fato de que as variáveis aleatórias

são independentes, e ambas converge em distribuição para

A lei do logaritmo iterado fornece o fator de escala, onde os dois limites tornam-se diferentes:

Assim, embora a quantidade é menos do que qualquer predefinidos com probabilidade se aproximando de um, essa quantidade, no entanto, irá sair desse intervalo infinitamente, e de fato irá passar nos vizinhos de qualquer ponto no intervalo quase certamente.

Generalizações e variantes[editar | editar código-fonte]

Exposição de teoremas do limite e suas interrelações.

A lei do logaritmo iterado para uma soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e incrementos delimitados remontam a Khinchin e Kolmogorov na década de 1920. Desde então, há uma enorme quantidade de trabalhos sobre a LIL para vários tipos de estruturas dependentes e processos estocásticos.

Hartman e Wintner generalizaram a lei do logaritmo iterado para passeios aleatórios com incrementos com zero de média e variância finita. Strassen estudou a LIL do ponto de vista dos princípios da invariância.[5] Stout generalizou a LIL para martingales estacionários e ergódicos.[6] Acosta fez uma prova simples da versão de LIL de Hartman e Wintner. Wittmann generalizou a versão de LIL de Hartman e Wintner para passeios aleatórios satisfazendo condições mais amenas.[7] Vovk derivou uma versão de LIL válida para uma única sequência caótica (sequência aleatória de Kolmogorov). Isso é notável por estar fora do reino da teoria da probabilidade clássica.[8] Yongge Wang mostrou que a lei do logaritmo iterado se mantém para sequências pseudo-aleatórias de tempo polinomial.[9][10]

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. A. Khinchine. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematica, 6:9-20, 1924. (The author's name is shown here in an alternate transliteration.)
  2. A. Kolmogoroff. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101:126-135, 1929. (At the Göttinger DigitalisierungsZentrum web site)
  3. Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)
  4. Varadhan, S. R. S. Stochastic processes. Courant Lecture Notes in Mathematics, 16. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2007.
  5. Strassen, V. (1 de setembro de 1964). «An invariance principle for the law of the iterated logarithm». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em inglês). 3 (3): 211–226. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF00534910 
  6. Stout, William F. “The Hartman-Wintner Law of the Iterated Logarithm for Martingales.” The Annals of Mathematical Statistics, vol. 41, no. 6, 1970, pp. 2158–2160., www.jstor.org/stable/2240358.
  7. Wittmann, Rainer (1 de dezembro de 1985). «A general law of iterated logarithm». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em inglês). 68 (4): 521–543. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF00535343 
  8. Vovk, V. (1 de janeiro de 1988). «The Law of the Iterated Logarithm for Random Kolmogorov, or Chaotic, Sequences». Theory of Probability & Its Applications. 32 (3): 413–425. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1132061 
  9. Y.Wang: The law of the iterated logarithm for p-random sequences. In: Proc. 11th IEEE Conference on Computational Complexity (CCC), pages 180-189. IEEE Computer Society Press, 1996. http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/CCC96.pdf
  10. Y.Wang: Randomness and Complexity. PhD Thesis, 1996. http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/thesis.pdf