Passeio aleatório

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Passeio aleatório em duas dimensões
Passeio aleatório em duas dimensões com um número maior de passos. No limite para poucos passos, obtém-se o movimento Browniano.

Um passeio aleatório é um formalização matemática de um caminho que é constituído por uma sucessão de passos aleatórios. Por exemplo, o caminho percorrido por uma molécula à medida que viaja em um líquido ou um gás, o caminho de caça de certos animais, o preço de uma unidade flutuante e o estado financeiro de um jogador podem ser modelados como passeios aleatórios, embora eles podem não ser verdadeiramente aleatórioes, na realidade. O termo "passeio aleatório" foi introduzido pela primeira vez por Karl Pearson em 1905. Caminhos aleatórios têm sido usados ​​em muitos campos:. Ecologia, economia, psicologia, Ciência da computação, física, química e biologia. Passeios aleatórios explicam os comportamentos observados de muitos processos nestes campos e, desta forma, serve como um modelo fundamental para atividades estocásticas que são então observadas.

Vários tipos diferentes de passeios aleatórios são de interesse. Muitas vezes, passeios aleatórios são consideradas Cadeias de Markov ou Processo de Markov, mas outros passeios mais complicados são também de interesse. Alguns passeios aleatórios estão realizados em grafos, outros na linha, no plano, em dimensões superiores, ou mesmo superfícies curvas, enquanto alguns passeios aleatórios são definidos em grupos. Passeios aleatórios também variam no que se refere ao parâmetro de tempo. Muitas vezes, a caminhada é em tempo discreto, e indexado pelos Números naturais, como em , , , . No entanto, em alguns passeios os passos são feitos em momentos aleatórios, e nesse caso a posição é definida para o continuum de tempos . Casos específicos ou limites de passeios aleatórios incluem o Vôo de Lévy. Passeios aleatórios estão relacionados com os modelos de difusão e são um tema fundamental na discussão de processos de Markov. Várias propriedades de passeios aleatórios, incluindo distribuições de dispersão, tempos de primeira passagem e taxas de encontro, têm sido extensivamente estudadas.

Definição[editar | editar código-fonte]

O passeio aleatório mais simples é um caminho construído de acordo as seguintes regras:

  • Há um ponto de partida.
  • A distância de um ponto no caminho até o próximo é constante.
  • A direção de um ponto no caminho para o próximo é escolhido aleatoriamente, e nenhuma direção é mais provável do que outra.

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