Processo Ornstein–Uhlenbeck

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Em matemática, de forma mais precisa, em cálculo estocástico, o processo Ornstein–Uhlenbeck (nomeado em homenagem a Leonard Ornstein e George Eugene Uhlenbeck), é um processo estocástico que, grosseiramente falando, descreve a velocidade de uma partícula Browniana sob a influência de atrito; ou seja, uma partícula browniana com massa.

O processo é estacionário, medidas importantes como a média permanece intacta ao passar do tempo, Gaussiano, variações em tempo diferentes respeitam a distribuição de Gauss, e Markoviniano, para saber o futuro, somente precisamos do presente, sem memória. Curiosamente, o processo Ornstein–Uhlenbeck e é o único processo não trivial que satisfaz essas três condições até o momento identificado, permitindo transformações lineares das variáveis ​​de espaço e tempo.[1]

Com o tempo, o processo tende a deriva para o seu meio termo de longo prazo: um tal processo é chamado de reversão à média.[2]

O processo pode ser considerado uma modificação da "caminhada aleatória" em uma linha continua no tempo, ou processo de Wiener, no qual as propriedades do processo mudaram de modo a existir uma tendência da caminhada de mover em direção ao centro, com grande atração quando o processo está longe do centro. O processo de Ornstein–Uhlenbeck pode ser considerado também como um processo contínuo no tempo análogo ao processo auto-repressivo discreto. Ver[3] para algumas discussões sobre processo auto-regressivos não-lineares como forma de introduzir estocasticidade em processos.

Formulação matemática[editar | editar código-fonte]

A formulação matemática, em termos de equações diferenciais estocásticas, segue abaixo:



Onde: é chamado de drift; , é chamado de difusão.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Doob, J.L. (1942), "The Brownian movement and stochastic equations", Annals of Mathematics 43: 351–369 .
  2. CASSETTARI, Ailton. Sobre uma nova teoria de precificação de opções e outros derivativos. Rev. Bras. Econ., Rio de Janeiro, v. 55, n. 3, Sept. 2001. doi: 10.1590/S0034-71402001000300005.
  3. Logan, J. David and Wolesensky, Willian R. Mathematical methods in biology. Pure and Applied Mathematics: a Wiley-interscience Series of Texts, Monographs, and Tracts. John Wiley& Sons, Inc. 2009. pp. 312-313