Processo de Cauchy

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Em teoria da probabilidade, um processo de Cauchy é um tipo de processo estocástico. Há formas simétricas e assimétricas do processo de Cauchy.[1] O termo "processo de Cauchy" não especificado é frequentemente usado para fazer referência ao processo de Cauchy simétrico[2]

O processo de Cauchy tem certas propriedades:

  1. É um processo de Lévy;[3][4][5]
  2. É um processo estável;[1][2]
  3. É um processo de saltos puros;[6]
  4. Seus momentos são infinitos.

Processo de Cauchy simétrico[editar | editar código-fonte]

O processo de Cauchy simétrico pode ser descrito por um movimento browniano ou processo de Wiener sujeito ao subordinador de Lévy.[7] O subordinador de Lévy é um processo associado a uma distribuição de Lévy, tendo parâmetro de localização e parâmetro de escala .[7] A distribuição de Lévy é um caso especial de distribuição gama inversa. Então, usando para representar o processo de Cauchy e para representar o subordinador de Lévy, o processo de Cauchy simétrico pode ser descrito como:

A distribuição de Lévy é a probabilidade do primeiro tempo de chegada para um movimento browniano. Logo, o processo de Cauchy é na essência o resultado de dois processos de movimento browniano independentes.[7]

A representação de Lévy-Khintchine para o processo de Cauchy simétrico é um triplo com deriva zero e difusão zero, o que resulta em um triplo de Lévy-Khintchine de , em que .[8]

A função característica marginal do processo de Cauchy simétrico tem a forma:[1][8]

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy simétrico é a distribuição de Cauchy cuja densidade é[8][9]

Processo de Cauchy assimétrico[editar | editar código-fonte]

O processo de Cauchy assimétrico é definido nos termos de um parâmetro . Aqui, é o parâmetro de obliquidade e seu valor absoluto deve ser menor ou igual a .[1] No caso em que , o processo é considerado um processo de Cauchy completamente assimétrico. [1]

O triplo de Lévy-Khintchine tem a forma , em que , em que , e .[1]

Isto posto, é uma função de e .

A função característica da distribuição de Cauchy assimétrica tem a forma:[1]

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy é uma distribuição estável com índice de estabilidade igual a .

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d e f g Kovalenko, I.N.; et al. (1996). Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers. [S.l.]: CRC Press. pp. 210–211. ISBN 9780849328701 
  2. a b Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A. (2006). «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». In: Kabanov, Y.; Liptser, R.; Stoyanov, J. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift. [S.l.]: Springer. p. 228. ISBN 9783540307884 
  3. Winkel, M. «Introduction to Levy processes» (PDF). pp. 15–16. Consultado em 7 de fevereiro de 2013. 
  4. Jacob, N. (2005). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3. [S.l.]: Imperial College Press. p. 135. ISBN 9781860945687 
  5. Bertoin, J. (2001). «Some elements on Lévy processes». In: Shanbhag, D.N. Stochastic Processes: Theory and Methods. [S.l.]: Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 9780444500144 
  6. Kroese, D.P.; Taimre, T.; Botev, Z.I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. [S.l.]: John Wiley & Sons. p. 214. ISBN 9781118014950 
  7. a b c Applebaum, D. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (PDF). University of Sheffield. pp. 37–53 
  8. a b c Cinlar, E. (2011). Probability and Stochastics. [S.l.]: Springer. p. 332. ISBN 9780387878591 
  9. Itô, K. (2006). Essentials of Stochastic Processes. [S.l.]: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 9780821838983