Espaço de Wiener

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Norbert Wiener

Em matemática, o espaço de Wiener clássico é a compilação de todas as funções contínuas em um dado domínio (geralmente um subintervalo da reta real), assumindo valores em um espaço métrico (geralmente um espaço euclidiano de dimensões).[1] O espaço de Wiener clássico é útil no estudo de processos estocásticos cujos caminhos amostrais forem funções contínuas. Tem este nome graças ao matemático norte-americano Norbert Wiener.

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere e um espaço métrico . O espaço de Wiener clássico é o espaço de todas as funções contínuas para todo fixado em ,

as

Em quase todas as aplicações, toma-se ou e para algum em . Por brevidade, escreve-se para ; este é um espaço vetorial. Escreve-se para o subespaço linear que consiste apenas daquelas funções que tomam valor no ínfimo do conjunto . Muitos autores se referem a como "espaço de Wiener clássico".

Propriedades do espaço de Wiener clássico[editar | editar código-fonte]

Topologia uniforme[editar | editar código-fonte]

O espaço vetorial pode ser equipado com a norma uniforme

tornando-o um espaço vetorial normalizado (português brasileiro) ou normado (português europeu) (na verdade, um espaço de Banach). Esta norma induz uma métrica em no sentido comum: . A topologia gerada pelos conjuntos abertos nesta métrica é a topologia de convergência uniforme em ou topologia uniforme.

Considerando o domínio como "tempo" e o intervalo como "espaço", uma visão intuitiva da topologia uniforme é que as duas funções estão "próximas" se pudermos "movimentar um pouco o espaço" e fazermos o gráfico de permanecer em cima do gráfico de , enquanto deixamos o tempo fixo. Isto contrasta com a topologia de Skorokhod, que nos permite "movimentar" tanto espaço, como tempo.

Separabilidade e completude[editar | editar código-fonte]

No que se refere à métrica uniforme, é um espaço tanto separável, quanto completo:

  • a separabilidade é uma consequência do teorema de Stone-Weierstrass;
  • a completude é uma consequência do fato de que o limite uniforme de uma sequência de funções contínuas é contínuo.

Por ser tanto separável, como completo, é um espaço polonês.

Tightness no espaço de Wiener clássico[editar | editar código-fonte]

Lembre que o módulo de continuidade para um função é definido por

Esta definição faz sentido mesmo se não for contínua e pode-se mostrar que é contínua se e somente se seu módulo de continuidade tender a zero conforme :

conforme .

Por uma aplicação do teorema de Arzelà-Ascoli, pode-se mostrar que uma sequência de medidas de probabilidade em um espaço de Wiener clássico é tight se e somente se ambas as condições seguintes forem atendidas:

e
para todo .

Medida de Wiener clássica[editar | editar código-fonte]

Há uma medida "padrão" em , conhecida como medida de Wiener clássica (ou simplesmente medida de Wiener). A medida de Wiener tem (pelo menos) duas caracterizações equivalentes:

Se o movimento browniano for definido como sendo um processo estocástico com propriedade de Markov , começando na origem, com caminhos quase certamente contínuos e incrementos independentes

então a medida de Wiener clássica é a lei do processo .

Alternativamente, pode-se usar a construção do espaço de Wiener abstrato, em que a medida de Wiener clássica é a radonificação da medida gaussiana canônica de conjunto cilíndrico no espaço de Hilbert e de Cameron-Martin correspondente a .

A medida de Wiener clássica é uma medida gaussiana: em particular, é uma medida de probabilidade estritamente positiva.

Dada a medida clássica de Wiener em , a medida produto é uma medida de probabilidade em , em que denota a medida gaussiana padrão em .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Andrade, Alexandre de (25 de março de 2009). «Cálculo de Malliavin e análise no espaço de Wiener». Biblioteca Digital da UNICAMP. Consultado em 17 de abril de 2017