Função contínua

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Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objectos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Definições de Continuidade[editar | editar código-fonte]

Em espaço topológico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de é um aberto de .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função e um conjunto , o conjunto .

  • Seja um conjunto com a topologia discreta , com qualquer topologia, então qualquer função é contínua.

Basta ver que, aberto temos que, , e portanto é aberto, o que mostra que é uma função contínua.

  • Seja um conjunto com a topologia grosseira , com qualquer topologia, então qualquer função é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de são e , basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas e , e, por definição, e são abertos em qualquer topologia em .

  • Sejam e funções contínuas. Então também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja aberto, pela continuidade de , temos que é um aberto em . Portanto, pela continuidade de , é um aberto em . Mas , o que prova a continuidade de .

Em espaço métrico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função é contínua no ponto se é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de , se existir o limite de com tendendo a e esse limite for igual a .

OBS.:Não faz sentido calcular limites em pontos que não são de acumulação. Caso insistíssemos teríamos que qualquer valor seria limite de com tendendo a

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função é contínua num ponto do seu domínio se,

dado tal que então .

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico em outro espaço métrico : a função é contínua em quando

dado tal que .

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Equivalência das Definições[editar | editar código-fonte]

Se e são espaços métricos, e as topologias geradas pelas métricas em e , então uma função é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limites[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita ser contínua em um ponto de seu domínio se:

Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Função Sequencialmente Contínua[editar | editar código-fonte]

Uma função , em que e são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência cujo limite (em ) seja , temos que o limite (em ) de é . Uma forma elegante de escrever isso é .

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Função Composta: Se e são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta é contínua.
  • Se é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto em um espaço topológico de Hausdorff , então é um homeomorfismo.
  • O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico e a reta real , com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em , pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
  • Sejam e dois espaços topológicos, e uma aplicação contínua. Então restrita a ainda é uma aplicação contínua.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Munkres, J. (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Annals of Mathematics Studies 54 Princeton University Press [S.l.] ISBN 0-691-09093-9. 
  • Lima, Elon Lages (2013). Análise Real - Funções de uma variável. Coleção Matemática Universitária 1 12ª ed. IMPA [S.l.] p. 198. ISBN 978-85-244-0048-3.