Função contínua

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Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objectos correspondem a pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Definições de continuidade[editar | editar código-fonte]

Em espaço topológico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de é um aberto de

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função e um conjunto o conjunto

  • Seja um conjunto com a topologia discreta com qualquer topologia, então qualquer função é contínua.

Basta ver que, aberto temos que, e portanto é aberto, o que mostra que é uma função contínua.

  • Seja um conjunto com a topologia grosseira com qualquer topologia, então qualquer função é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de são e basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas e e, por definição, e são abertos em qualquer topologia em

  • Sejam e funções contínuas. Então também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja aberto, pela continuidade de temos que é um aberto em Portanto, pela continuidade de é um aberto em Mas o que prova a continuidade de


Em espaço métrico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função é contínua no ponto se é um ponto isolado do domínio ou, caso seja ponto de acumulação de se existir o limite de com tendendo a e esse limite for igual a

OBS.: Não faz sentido calcular limites em pontos que não são de acumulação. Caso insistíssemos teríamos que qualquer valor seria limite de com tendendo a

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função é contínua num ponto do seu domínio se, dado tal que então

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico em outro espaço métrico a função é contínua em quando dado tal que

Em termos de bolas, dados dois espaços métricos dizemos que a aplicação é contínua em se, dada uma bola aberta de centro e raio pode-se encontrar uma bola de centro e raio tal que [1]

Função contínua em termos de bolas.png

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Seja e espaços métricos não vazios. Se tivermos que então a aplicação é contínua e a constante é chamada de constante de Lipschitz. Na reta Real toda aplicação Lipschitiziana é uniformemente contínua.

Equivalência das definições[editar | editar código-fonte]

Se e são espaços métricos, e as topologias geradas pelas métricas em e então uma função é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limites[editar | editar código-fonte]

Uma função é dita ser contínua em um ponto de seu domínio se:

Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Função sequencialmente contínua[editar | editar código-fonte]

Uma função em que e são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência cujo limite (em ) seja temos que o limite (em ) de é Uma forma elegante de escrever isso é

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Função Composta: Se e são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta é contínua.
  • Se é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto em um espaço topológico de Hausdorff então é um homeomorfismo.
  • O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico e a reta real com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
  • Sejam e dois espaços topológicos, e uma aplicação contínua. Então restrita a ainda é uma aplicação contínua.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Munkres, J. (1966). Elementary Differential Topology, edição revisada. Annals of Mathematics Studies 54 Princeton University Press [S.l.] ISBN 0-691-09093-9. 
  • Lima, Elon Lages (2013). Análise Real - Funções de uma variável. Coleção Matemática Universitária 1 12ª ed. IMPA [S.l.] p. 198. ISBN 978-85-244-0048-3. 
  1. LAGES, Elon (1977). Espaços métricos (Rio de Janeiro: IMPA). p. 32.