Função contínua

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Em matemática, uma função é contínua quando, intuitivamente, a pequenas variações nos objectos correspondem pequenas variações nas imagens. Nos pontos onde a função não é contínua, diz-se que a função é descontínua, ou que se trata de um ponto de descontinuidade.

Definições de Continuidade[editar | editar código-fonte]

Em espaço topológico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função f:X\rightarrow Y entre espaços topológicos é contínua se a imagem recíproca de qualquer aberto de Y é um aberto de X.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Esta função é descontínua nos inteiros.

Estes exemplos usam propriedades da imagem recíproca, ou seja, dada uma função f: X \rightarrow Y e um conjunto A \subset Y, o conjunto f^{-1}(A) = \{ x \in X | f(x) \in A \}.

  • Seja X um conjunto com a topologia discreta \tau_X = P(X), Y com qualquer topologia, então qualquer função f: X \rightarrow Y é contínua.

Basta ver que, \forall A \in Y aberto temos que,  f^{-1}(A) \in P(X), e portanto é aberto, o que mostra que f é uma função contínua.

  • Seja Y um conjunto com a topologia grosseira \tau_Y = \{ \varnothing , Y \}, X com qualquer topologia, então qualquer função f: X \rightarrow Y é contínua.

De fato, pois, como os dois únicos abertos de \tau_Y são \varnothing e Y, basta verificar se suas imagens inversas são abertos. Mas f^{-1}(\varnothing) = \varnothing e f^{-1}(Y) = X, e, por definição, \varnothing e X são abertos em qualquer topologia em X.

  • Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções contínuas. Então  g \circ f: X \rightarrow Z também é uma função contínua.

Fato pois: qualquer que seja A \subset Z aberto, pela continuidade de g, temos que g^{-1}(A) é um aberto em Y. Portanto, pela continuidade de f, f^{-1}(g^{-1}(A)) é um aberto em X. Mas f^{-1}(g^{-1}(A)) = (g \circ f)^{-1}(A), o que prova a continuidade de g \circ f.

Em espaço métrico[editar | editar código-fonte]

Diz-se que uma função f é contínua no ponto x=a se existir o limite de f(x) com x tendendo a a e esse limite for igual a f(a).

Em análise real, essa definição é escrita na forma tradicional Epsilon-Delta, ou seja, diz-se que uma função f é contínua num ponto a do seu domínio se,

dado \epsilon > 0, \exist \delta > 0 tal que se a - \delta < x < a + \delta então f(a) - \epsilon < f(x) < f(a) + \epsilon .

Esta definição, com uma pequena adaptação, pode ser usada para uma função de um espaço métrico E em outro espaço métrico F: a função f é contínua em a \in E quando

dado \epsilon > 0, \exist \delta > 0 tal que \forall x \in E, d_E(x, a) < \delta \rightarrow d_F(f(x), f(a)) < \epsilon.

Diz-se que f é contínua em seu domínio, ou simplesmente contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

Equivalência das Definições[editar | editar código-fonte]

Se E e F são espaços métricos, e \tau_E \mbox{ e } \tau_F as topologias geradas pelas métricas em E e F, então uma função f: E \rightarrow F é contínua pela definição topológica se, e somente se, ela é contínua pela definição métrica.

Em termos de limites[editar | editar código-fonte]

Uma função f(x) é dita ser contínua em um ponto a de seu domínio se:

\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Observa-se que esta definição exige que o limite à esquerda exista assim como o limite da direita e que a função esteja definida no ponto com o mesmo valor de limite para o ponto.

Função Sequencialmente Contínua[editar | editar código-fonte]

Uma função f: E \rightarrow F, em que E e F são espaços topológicos, é sequencialmente contínua em um ponto a \in E quanto ela comuta com o limite de sequências, ou seja, quando para toda sequência x_i \in E cujo limite (em E) seja a, temos que o limite (em F) de f(x_i) é f(a). Uma forma elegante de escrever isso é \lim_{i \rightarrow \infty} f(x_i) = f(\lim_{i \rightarrow \infty} x_i).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Função Composta: Se f: E \to F e g: F \to G são funções contínuas, então é imediato (pela definição topológica) que a função composta g \circ f: E \to G é contínua.
  • Se f:X \rightarrow Y é uma bijeção contínua de um espaço topológico compacto X em um espaço topológico de Hausdorff Y, então f é um homeomorfismo.
  • O conjunto dos zeros de uma aplicação contínua entre um espaço topológico X e a reta real \mathbb{R}, com a topologia usual, é um conjunto fechado. Em particular, o conjunto das matrizes singulares é fechado em \mathbb{R}^{n\times n}, pois o determinante define uma aplicação contínua nesse espaço.
  • Sejam X e Y dois espaços topológicos, U \subset X e f:X \rightarrow Y uma aplicação contínua. Então f restrita a U ainda é uma aplicação contínua.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Munkres, J.. Elementary Differential Topology, edição revisada. [S.l.]: Princeton University Press, 1966. ISBN 0-691-09093-9
  • Lima, Elon Lages. Análise Real - Funções de uma variável. 12ª ed. [S.l.]: IMPA, 2013. 198 p. vol. 1. ISBN 978-85-244-0048-3