Gradiente

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No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação da gradiente.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois exemplos de gradiente[1]. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar é determinado via ênupla ordenada definida por:

ou, via notação de soma de Euler, por:

onde são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função escalar

tem-se, na base cartesiana

que fornece por resposta a ênupla

ou explicitamente


para qualquer ponto definido pelas coordenadas , restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões[editar | editar código-fonte]

Para todo campo escalar diferenciável em função do espaço cartesiano temos que:

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

O gradiente é linear:

Onde é um corpo constante.

Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

E na divisão:

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja uma função definida em e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto onde x e y são funções de um parâmetro t tal que .

Então, temos:

(diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em , logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é revertido pelo integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo, ).

Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância ao eixo z, é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância à origem, é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.

Noção intuitiva de gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento[2].

Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

  1. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19. 
  2. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (01/01/2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011. 

Fontes externas[editar | editar código-fonte]

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
  • Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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