Gradiente

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Disambig grey.svg Nota: Se procura Gradiente, a empresa e marca, veja Gradiente (empresa).

No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração.

O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais).

O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado.

Ex: ∇= distância vertical/ distância horizontal= Gradiente. O símbolo ∇, isto é, nabla é uma representação do gradiente.

Motivação: gradiente de temperatura[editar | editar código-fonte]

Gradiente em uma única direção (derivada)[editar | editar código-fonte]

Suponha que tenhamos uma viga retilínea cujas extremidades estão em contato com duas paredes a temperaturas diferentes, uma à esquerda e outra à direita, sendo a parede à direita a mais quente. Observamos que a temperatura da viga não é constante em relação ao espaço, e que cresce da esquerda para a direita ao longo de seu comprimento. Definindo a coordenada para a extremidade à esquerda e para a extremidade à direita, definimos a temperatura em uma posição qualquer (variável ) da viga como uma função .

Entre dois pontos muito próximos, distantes de um comprimento , teremos uma respectiva variação de temperatura . Em uma situação unidimensional, a razão entre essas grandezas fornece o gradiente, denotado por:

Note que, para apenas uma dimensão, a noção de derivada e gradiente convergem.

Em condução térmica, o gradiente de temperatura é responsável pelo surgimento de um fluxo de calor, segundo a Lei de Fourier, que, para condução unidimensional, é representada por:

onde corresponde ao fluxo de calor, em , e corresponde à condutividade térmica do material, em . O sinal negativo indica que o calor fluirá do corpo mais quente em direção ao corpo mais frio.

Gradiente de temperatura no espaço tridimensional[editar | editar código-fonte]

Na prática, a temperatura da viga varia em função das coordenadas no espaço. Estabelecendo um ponto qualquer , teremos, em uma situação mais próxima da realidade, uma função que descreve a temperatura nas coordenadas de .

Se nos deslocarmos em apenas um eixo do espaço, podemos escrever a função considerando esse deslocamento. Para uma variação da coordenada , por exemplo, teremos a relação:

Seguindo a mesma lógica, para um deslocamento entre um ponto qualquer e outro que chamaremos de , teremos um vetor , havendo mudança da temperatura de para . Assim, teremos a relação:
É possível simplificar essa relação definindo um vetor gradiente de temperatura , no qual cada componente indica a variação da temperatura em cada coordenada:
Assim, podemos representar a mudança de temperatura da posição para por:
sendo o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor .

Da mesma forma que no caso unidimensional, o vetor gradiente de temperatura terá orientação partindo do mais frio em direção ao mais quente.

Assim, no contexto de transferência de calor, teremos a Lei de Fourier aplicada ao sistema tridimensional, representada por:

Novamente, corresponde ao fluxo de calor e corresponde à condutividade térmica do material. Perceba que, como o calor flui da região de temperatura mais alta para uma de temperatura mais baixa, os vetores fluxo de calor e gradiente de temperatura terão sentidos contrários.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Dois exemplos de gradiente[2]. Em cada caso o valor da função é indicado pela escala de cinzas.

O vetor gradiente ou simplesmente gradiente de um campo escalar é determinado via ênupla ordenada definida por:

ou, via notação de soma de Euler, por:

onde são os vetores unitários ortogonais que definem a base a partir da qual se coordena o espaço e representa o respectivo operador derivada parcial.

Já na notação de soma de Einstein, onde índices repetidos no mesmo fator implicam somatório, para o campo escalar φ:

O símbolo nabla foi introduzido por William Hamilton e rapidamente assimilado pela comunidade científica:

No entanto, por abuso de linguagem, é comum não se indicar a "seta" de vector e a notação poderá torna-se em:

O gradiente também pode ser generalizado em ordem – se fornecemos um campo vectorial obtemos um campo tensorial.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para a função escalar

tem-se, na base cartesiana

que fornece por resposta a ênupla

ou explicitamente


para qualquer ponto definido pelas coordenadas , restando apenas a substituição dos respectivos valores x, y e z na expressão acima.

Expressões[editar | editar código-fonte]

Para todo campo escalar diferenciável em função do espaço cartesiano temos que:

O gradiente é a derivada de um campo em função do espaço:

Em uma só dimensão o gradiente de uma função que só depende do espaço:

Gradiente da função em 2-D f(x, y) = xe [^- (x² + y²)] é representada graficamente plotada como setas azuis

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Linearidade[editar | editar código-fonte]

O gradiente é linear:

Onde é um corpo constante.

Lei de Leibniz[editar | editar código-fonte]

O gradiente segue a Lei de Leibniz na multiplicação:

E na divisão:

A inclinação da função f (x, y) = - (+ cos²x cos²y)² descrito como um campo de vectores projetada no plano inferior.

Ortogonalidade às curvas de nível[editar | editar código-fonte]

O vector gradiente sempre será ortogonal às curvas de nível (veja no artigo "Conjunto de nível"). Seja uma função definida em e diferenciável em todo seu domínio.

Seja o conjunto onde x e y são funções de um parâmetro t tal que .

Então, temos:

(diferenciando com relação a t pela regra da cadeia)

A equação final pode ser interpretada como o produto escalar do gradiente de f por um vector tangente a f em , logo os dois são perpendiculares entre si.

Teorema do gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é revertido pela integral de linha de acordo com o teorema do gradiente, que é análogo ao teorema fundamental do cálculo:

Derivada direcional[editar | editar código-fonte]

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um versor (no caso abaixo,). Analiticamente, a derivada direcional de dada f(x,y,z) (função escalar), é a taxa de variação instantânea de f em relação à distância na direção e sentido .[3]

Assim, podemos tirar algumas observações[4] a partir do produto escalar entre o gradiente de f e o versor :
  1. Se o ângulo entre os vetores e , denotado por θ, for igual a zero. então teremos que a derivada direcional é máxima, e será igual ao módulo do gradiente de f(x,y,z), já que:
. 2. Se o ângulo θ for igual a , então a derivada direcional terá seu valor mínimo e igual a menos o módulo do gradiente de f(x,y,z):
3. Se f(x,y,z) representar uma curva de nível em que f(x,y,z) = k , onde k é uma constante, e se o vetor for tangente à tal curva de nível, então o valor da derivada direcional é nula, pois será perpendicular a , e normal à curva de nível . Neste caso:

Sistemas de coordenadas[editar | editar código-fonte]

O gradiente é escrito nos diferentes sistemas de coordenadas tridimensionais nas seguintes formas:

Coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Para coordenadas espaciais x, y e z.

Coordenadas cilíndricas circulares[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância ao eixo z, é o ângulo (tomado, em geral sobre o plano z=0 em relação ao eixo x) e z.

Coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

Onde representa a distância à origem, é o ângulo entre a reta que liga o ponto à origem e o eixo z e é o ângulo formado pela projeção da reta que liga o ponto à origem no plano z=0 e o eixo x.


Gradiente na Física[editar | editar código-fonte]

O conceito de gradiente na física está fortemente relacionado aos conceitos de campo conservativo e de função potencial, de tal forma que também na matemática se define campo vetorial conservativo.

Na física campos conservativos são campos que conservam a energia do sistema, isto é, campos onde não há dissipação de energia.

A função vetorial .é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar , chamada função potencial, tal que:

Sendo assim, dada uma função potencial ou uma função potencial do tipo , basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a .

Como é uma função de x, y, z então:

Se é uma função implícita de x, y, z através de , ou seja, é necessário usar a regra da cadeia para calcular o respectivo gradiente. Potenciais deste tipo são chamados de potenciais centrais.

Cálculo do gradiente de potenciais centrais[editar | editar código-fonte]

Muitos modelos de potenciais físicos são centrais, sendo assim de grande importância saber como realizar o cálculo deste tipo.

Através da regra da cadeia é possível ver que:

Levando em conta que podemo ter que:

Igualmente para as outras variáveis do gradiente:

e ;

Assim, com a soma das três derivadas, temos que :

Esta última fórmula é a preferencial para quando se tem potenciais centrais, pois ela nos fornece o campo gradiente com apenas uma derivação.


Noção intuitiva de gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente é o vetor que aponta para onde a grandeza resultante da função tem seu maior crescimento.[5]

Gradientes de tensão[editar | editar código-fonte]

Os gradientes de tensão em redes elétricas são, depois dos transientes, os maiores causadores de danos em circuitos eletro-eletrônicos.

O retorno da energia elétrica numa linha de transmissão longa, após uma interrupção da mesma, faz-se acompanhar por transientes de tensão elevada até à estabilização do circuito. Simultaneamente, manifesta-se na rede um movimento oscilatório de baixa frequência, composto por gradientes positivos e negativos, denominados harmônicos, que fazem elevar e reduzir a tensão, acima e abaixo do seu valor nominal.

Referências

  1. INCROPERA, Frank (2014). Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa. [S.l.]: LTC 
  2. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 19 de março de 2016 
  3. Anton, Bivens, Davis, Howard. Irl, Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 960,961 
  4. Strauch, Irene. Análise Vetorial em Dez Aulas. [S.l.: s.n.] 
  5. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (1 de janeiro de 2007). «Cálculo II». Universidade do Estado do Amazonas. Consultado em 11 de dezembro de 2011 

Fontes externas[editar | editar código-fonte]

  • Cálculo, George B. Thomas, (Décima Edição), Volume 2; Addison Wesley/Pearson Education do Brasil, São Paulo, (2002).
  • Matemática para pais e filhos, Carol Vordeman, PubliFolha; Barry Lewis/Andrew Jeffrey/Marcus Weeks, São Paulo, (2011).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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