Campo conservativo

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Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Definição[editar | editar código-fonte]

A função vetorial F é um campo vetorial conservativo se existe uma função escalar , chamado de potencial, tal que F = . Assim, dada uma função potencial (x,y,z) ou uma função potencial do tipo (r), basta calcular o gradiente para encontrar o campo vetorial conservativo associado a .

Se é uma função explícita de x,y,z então F(x,y,z) = i+ j + k. Se é uma função implícita de x,y,z através de r = , isto é, (r) = (r(x,y,z)) então é necessário usar a regra da cadeia para calcular o gradiente do potencial . Potenciais desta forma são ditos potenciais centrais.

Campos vetoriais irrotacionais[editar | editar código-fonte]

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

.

No caso considerado aqui, e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo , isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminho[editar | editar código-fonte]

Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Dado o campo

calcular o trabalho () realizado para deslocar uma partícula de até :

Primeiro, verificamos se é conservativo.

Como , o campo é conservativo, logo, permite uma função potencial dada por

Logo,

Como o campo é conservativo, o realizado por uma partícula independe do caminho C, e é calculado pela diferença de potencial entre e

Logo,

Interpretação física[editar | editar código-fonte]

Mecânica[editar | editar código-fonte]

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

onde é a energia cinética e é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

Alguns exemplos de forças conservativas são:

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa em devido a um corpo pontual de massa em é:

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

  • Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

Eletromagnetismo[editar | editar código-fonte]

As equações de Maxwell, especificamente , mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja, . As curvas de nível do potencial elétrico são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Lima, E.L.; (2005). Curso de Análise, vol 2. segunda edição ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 85-244-0049-8 
  • Nakahara, M.; (2003). Geometry, Topology and Physics. segunda edição ed. [S.l.]: Taylor & Francis. ISBN 978-0750306065 
  • Frankel, T.; (2003). The Geometry of Physics: An Introduction. segunda edição ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0521539272