Força conservativa

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Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho é independente da trajetória. Em outras palavras, ao se mover, sob ação dessa força, uma partícula de um ponto A a um ponto B, o trabalho é independente da trajetória percorrida entre eles. Num sentido mais geral, uma força é conservativa se, e somente se, pode ser expressa como o gradiente de uma função escalar, chamada de energia potencial. O termo conservativa vem do fato de que, em se levando, por um caminho arbitrário, um objeto sujeito a essa força de um ponto A a um ponto B, e retornando então ao ponto A por alguma outra trajetória qualquer, não haverá perda da energia total - em qualquer caminho fechado, o trabalho dessa força será nulo. O trabalho de uma tal força entre dois pontos A e B quaisquer depende apenas do valor que a energia potencial associada assume em A e B. As forças conservativas mais familiares são a gravitacional, a elétrica e a elástica. 1

Teorema do trabalho e energia potencial[editar | editar código-fonte]

O teorema do trabalho e a energia potencial dá-se pela seguinte expressão:

 W_{12} = U(S_1) - U(S_2)

onde U(s) é uma primitiva da função Ft definida por:

U = - \int\limits_{Sref}^{S}F_t d_s

É habitual incluir um sinal negativo, que faz com que na equação de trabalho e energia potencial os sinais fiquem trocados em relação ao que se costuma fazer para calcular integrais definidos. A posição Sref é a posição de um ponto qualquer escolhido como referência. Para que a força seja realmente uma função da posição é necessário que sempre que a partícula se encontrar num ponto da sua trajetória, a força nesse ponto seja sempre igual.Uma força com essa propriedade é denominada força conservativa.

O trabalho exercido pela força gravitacional em um objeto depende somente da mudança de sua altura pois essa força é conservativa.

A primitiva U(s) da força conservativa, definida pela equação acima, é designada por energia potencial. A escolha arbitrária do ponto de referência Sref não terá nenhuma consequência física, já que o que o trabalho será calculado a partir da diferença de energia potencial entre dois pontos.

O trabalho da força resultante é igual ao aumento de energia cinética.

A força resultante pode, em geral, incluir forças conservativas e não conservativas. O trabalho da força resultante pode ser calculado como o trabalho feito pela soma de todas as forças conservativas, mais o trabalho das forças não conservativas:

W_{12} = W_{12}(conservativas) + W_{12}(não conservativas)

O trabalho das forças conservativas é igual à diminuição da energia potencial e o trabalho total é igual ao aumento da energia cinética. Assim, temos:

E_{c2}- E_{c1} = U_1 - U_2 + W_{12} (não conservativas)

em que U é a soma de todas as energias potenciais associadas a todas as forças conservativas e Ec é a energia cinética.

Define-se a energia mecânica do sistema igual à soma das energias cinética e potencial:

E_m = E_c + U

Em função da energia mecânica, a equação acima fica:

E_{m2} - E_{m1} = W_{12} (não-conservativas)

Denominado teorema do trabalho e a energia mecânica:O aumento da energia mecânica "Em", definida como a soma da energia cinética mais a energia potencial, é igual ao trabalho feito pelas forças não conservativas.

Uma consequência desse resultado é a lei de conservação da energia mecânica: se não atuarem forças não conservativas, a energia mecânica do sistema permanecerá constante.2

Gráficos de energia[editar | editar código-fonte]

O gráfico da energia potencial associada a uma força conservativa é muito útil na análise do movimento. A figura a seguir mostra um exemplo; a curva representa a energia potencial total do sistema, em função da distância ao longo da trajetória, s.2

Há duas propriedades importantes a salientar na análise dos gráficos de energia potencial. A primeira é que em qualquer ponto s, a componente tangencial da força associada à energia potencial é igual a menos a derivada da energia potencial:

F_t = - \frac{dU}{ds}

Exemplo de energia potencial e energia mecânica

Já que a derivada de uma primitiva dá a função original. A segunda propriedade importante é que a partícula nunca poderá estar numa posição onde a energia mecânica seja E_m seja menor que a energia potencial, já que E_m - U é igual à energia cinética, que é sempre positiva ou nula. Aplicando essas propriedades ao exemplo no gráfico, vemos que nos intervalos - 2 < s < - 1 e 2 < s < 5 o valor da força tangencial é positivo, isto é aponta no sentido em que a posição s aumenta. 2

Nos intervalos - 1 < s < 2 e 5 < s < 6 o valor da força é negativo (aponta no sentido em que s diminui). Nos pontos s = - 1, s = 2 e s = 5 a força é nula. A esses pontos é dada a denominação de pontos de equilíbrio. A energia mecânica não pode ser menor que - 6:75. A reta horizontal que se mostra corresponde a uma energia mecânica igual a 2.25 unidades. Admitindo que não existam forças não conservativas, essa energia permanece constante. Com essa energia, a partícula só poderá estar nas regiões em que: E_m\ge U(x)

por exemplo, a partícula não poderia estar na posição s = 3. A partícula estará confinada a uma vizinhança do ponto -1 ou 5.

Nos pontos em que a reta horizontal (energia mecânica da partícula) corta a curva da energia potencial, a energia cinética será nula e, portanto, a partícula estará em repouso; no entanto a partícula não permanece em repouso por muito tempo, porque a força nesses pontos não é nula 2 . Por exemplo, se num instante a partícula estiver na posição s = 5, deslocando-se no sentido em que s aumenta, deslocar-se-á até um ponto perto de s = 6 onde a partícula para; nesse ponto a força aponta no sentido negativo da distância, o que faz com que a partícula regresse para o ponto s = 5, mas agora com velocidade no sentido negativo da distância. A partícula aproximar-se-á do ponto s = 3:8, onde a sua velocidade será nula; nesse ponto, sendo a força no sentido positivo da distância, a partícula regressará à posição s = 5 e o ciclo será repetido novamente.

Energia potencial gravitacional[editar | editar código-fonte]

O peso é uma força conservativa.2

Usando um sistema de coordenadas em que o eixo do z é vertical e aponta para cima, o peso é:

\vec F = - \; mg\vec e_z

O trabalho realizado por essa força entre dois pontos A e B é:

W = \int\limits_{B}^{A}\vec F . d\vec r

Em coordenadas cartesianas, o produto escalar entre a força e o deslocamento é:

\vec F . d\vec r = mgdz

e, portanto o integral desde A até B será um integral em ordem à variável z, desde Za até Zb:

W = - \; mg\int\limits_{Zb}^{Za}dz = mgza - mgzb

Este resultado mostra que o trabalho depende apenas das alturas inicial e final e o resultado será o mesmo independentemente do percurso seguido entre esses dois pontos.2 A energia potencial gravitacional, associada ao peso, é:

U_g = mgz

A escolha da origem é arbitrária: as alturas podem ser medidas em relação a qualquer ponto, sem ter que ser em relação ao solo.

Forças elásticas[editar | editar código-fonte]

Mola elástica pendurada dum suporte horizontal. A elongação é diretamente proporcional ao peso colocado.

Uma mola elástica esticada ou comprimida exerce uma força dirigida na direção e sentido que faz regressar a mola à sua forma normal.

O módulo da força exercida pela mola é diretamente proporcional à elongação da mola. Se pendurarmos um peso P, a mola é esticada até ficar numa posição em que a força elástica equilibra o peso. Duplicando esse peso duplica-se a elongação.

A expressão matemática dessa relação entre a força elástica \vec{F}_\mathrm{e} e a elongação z é chamada lei de Hooke.2 
\vec{F}_\mathrm{e} = -k\,z\,\vec{e}_z

em que k é a constante elástica da mola e a posição z é medida desde a posição em que não está a ser exercida nenhuma força sobre a mola.2

A força elástica é uma força conservativa. Usando como ponto de referência o ponto z=0 em que a mola tem o seu comprimento normal, a energia potencial elástica é:

U_\mathrm{e} \quad = \quad -\int_0^x (-k\,z)\,\vec{e}_z\cdot\mathrm{d}\,\vec{r}\qquad \Rightarrow \qquad U=\frac{1}{2}k\,z^2

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica 1, 1ª ed., editora Blucher.
  2. a b c d e f g h Jaime E. Villate. Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto. 2013. 267 p. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 07 jun. 2013.