Centro de massas

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Na mecânica clássica, centro de massa de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não precisa coincidir com o centro geométrico (centróide). O centro de massa nem ao menos precisa estar dentro do corpo. Para n partículas, cada uma com posição ri e massa mi, o centro de massa \mathbf{R} é dado por:

\mathbf{R} = \frac 1M \sum m_i \mathbf{r}_i

Na física, o centróide, o centro de gravidade e o centro de massas podem, sob certas circunstâncias, coincidir entre si. Nesses casos, pode-se utilizar os termos de maneira intercambiável, mesmo que designem conceitos diferentes. O centróide é um conceito puramente geométrico enquanto que os outros dois se relacionam com as propriedades físicas de um corpo. Para que o centróide coincida com o centro de massa, o objeto deve ter densidade uniforme, ou a distribuição de matéria através do objeto deve ter certas propriedades, tais como simetria. Para que um centróide coincida com o centro de gravidade, o centróide deve coincidir com o centro de massa e o objeto deve estar sob a influência de um campo gravitacional uniforme.

Em um tratamento de sistemas de massas pontuais o centro de massas é o ponto onde se supõe concentrada toda a massa do sistema. O conceito se utiliza para análises físicas nas quais não é importante considerar a distribuição de massa. Por exemplo, nas órbitas dos planetas.

Para um sistema de massas discreto, formado por um conjunto de massas pontuais, o centro de massas pode ser calculado como:

\vec R_{CM} = \frac{\sum_i \left(\vec {r}_i \cdot m_i \right)}{\sum_i m_i}

 m_i --> Massa pontual iésima

\vec{r}_i --> Posição da massa iésima respectivo ao eixo de referência assumido.

Em casos que os corpos não sejam pontuais, usa-se esta fórmula:

\vec R_{CM} = \frac{\int\vec r  dm}{\int dm} = \frac{1}{M}\int\vec r  dm

Casos particulares de um sistema contínuo[editar | editar código-fonte]

Se a massa está distribuída de forma homogênea, a densidade será constante, assim, fazendo uso da relação  dm = \rho \ dV

\vec R_{CM} = \frac{\rho \int_V \vec r  \ dV}{\rho \int \ dV} = \frac{\int_V \vec r \ dV}{V}
Nota: V é o volume total. Para corpos bidimensionais ou unidimensionais se trabalhará com densidades superficiais/longitudinais e com superfícies/longitudes.
- Para o caso de corpos com geometria regular tais como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. o CM coincidirá com o centróide do corpo.

Os centros de massas em corpos de densidade variável podem ser calculados sem se conhecer a função de densidade  \rho (\vec {r}) . Neste caso, se calcula o CM da seguinte forma:

\vec R_{CM} = \frac{\int_V \vec{r} \rho (\vec {r}) \ dV}{M}
- A resolução da integral dependerá da função da densidade.

Na teoria da relatividade, o cálculo do tensor momento angular requer calcular uma magnitude similar ao centro de massa, o centro de energia que vem a ser dado por:

\vec R_{CE} = \frac{\int\vec{r} \varepsilon_\vec {r} \ dV}{E}

Ver também[editar | editar código-fonte]