Vetor unitário

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Em matemática, um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normalizado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

No espaço euclidiano, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é devido à fórmula do produto escalar, já que os comprimentos de ambos vetores é 1.

O vetor normalizado û de um vetor não zero u é o vetor unitário codirecional com u, i.e.

O termo vetor normalizado é algumas vezes utilizado simplesmente como sinônimo para vetor unitário.

Os elementos de uma base são geralmente vetores unitários. Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Estes nem sempre são escritos com um circunflexo, mas pode ser normalmente assumido que i, j e k são vetores unitários na maioria dos contextos.

Outros sistemas de coordenadas, como coordenada polar ou coordenada esférica utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.

O vetor[editar | editar código-fonte]

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.[1]

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se é o versor de , então:

Isto se evidencia por:

Versores primários[editar | editar código-fonte]

Os versores são úteis para diversas operações , alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor , pode ser referenciado e operado na forma:

O que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Versor na Física[editar | editar código-fonte]

Versor tangencial[editar | editar código-fonte]

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial , na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.[2]

Versor tangencial em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.[2]

Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial , que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:

A velocidade é igual à derivada do vetor posição :

O vetor posição não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo).

No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.[2]

Se for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo, , é sempre maior ou igual que o módulo de .

A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de só seria igual a se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. [2]

No limite quando for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de será aproximadamente igual a . A derivada do vetor posição será então,

Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições e

E, substituindo na equação , obtém-se:

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida, , em ordem ao tempo, já que não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.[2]

Versor normal[editar | editar código-fonte]

A aceleração é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação, [2]

,temos :

Variação do versor tangencial

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de .

Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de no intervalo desde A até B é o vetor que une os dois vetores.

Sendo o módulo de igual a 1, os dois versores na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo .

Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a .

Se o intervalo de tempo for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo ; conclui-se que a derivada de é:

Em que é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e

representa o valor da {velocidade angular}.

Substituindo essa derivada na equação ...

, obtém-se a expressão para a aceleração:

Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.

A componente tangencial da aceleração tangencial, , é a aceleração segundo a trajetória.

A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade pelo valor da velocidade angular :

Tendo em conta que os versores e são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração, , será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória

O ângulo de rotação do versor tangencial, , é também igual ao ângulo de rotação do versor normal .

A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).

Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão.

No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial .

Raio de curvatura.

A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante ) e B (instante ) correspondente ao movimento da figura anterior.

As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes ( e ), mas

serão iguais no limite , em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.

A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, , da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento pode ser aproximado por um arco

de circunferência de raio e ângulo ;

a distância percorrida é o comprimento desse arco :

Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular é igual ao valor da velocidade, , dividida pelo raio de curvatura nesse ponto.

Usando este resultado, a componente normal da aceleração, , pode ser escrita do modo seguinte:

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, , é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.

Referências

  1. http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_2)/Geometria_tridimensional/Vetores_no_espa%C3%A7o
  2. a b c d e f [ Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.
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