Vetor unitário

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Em matemática, um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normalizado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

No espaço euclidiano, o produto escalar de dois vetores unitários é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles. Isto é devido à fórmula do produto escalar, já que os comprimentos de ambos vetores é 1.

O vetor normalizado û de um vetor não zero u é o vetor unitário codirecional com u, i.e.

\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{||\mathbf{u}||}.

O termo vetor normalizado é algumas vezes utilizado simplesmente como sinônimo para vetor unitário.

Os elementos de uma base são geralmente vetores unitários. Na coordenada cartesiana tridimensional, esses elementos são usualmente i, j e k — vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

Estes nem sempre são escritos com um circunflexo, mas pode ser normalmente assumido que i, j e k são vetores unitários na maioria dos contextos.

Outros sistemas de coordenadas, como coordenada polar ou coordenada esférica utiliza vetores unitários diferentes; suas notações variam.

O versor[editar | editar código-fonte]

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.1

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se \vec{u} \,\! é o versor de \vec{v} \,\!, então:

\vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\,\!

Isto se evidencia por:

|\vec{u}| = \left|\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\right| \,\!

|\vec{u}| = \sqrt{\left(\frac{v_x}{|\vec{v}|} \right)^2+\left(\frac{v_y}{|\vec{v}|} \right)^2 + \left(\frac{v_z}{|\vec{v}|} \right)^2} \,\!

|\vec{u}| = \sqrt{\frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{|\vec{v}|^2}} \,\!

|\vec{u}| = \sqrt{\frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \,\!

|\vec{u}| = 1 \,\!

Versores primários[editar | editar código-fonte]

Os versores são úteis para diversas operações , alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

  • \vec{i} = \langle 1,0,0 \rangle \,\!
  • \vec{j} = \langle 0,1,0 \rangle \,\!
  • \vec{k} = \langle 0,0,1 \rangle \,\!

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor \vec{v}= \langle v_x,v_y,v_z \rangle \,\!, pode ser referenciado e operado na forma:

\vec{v}=v_x \vec{i}+v_y \vec{j}+v_z \vec{k} \,\!

O que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Versor na Física[editar | editar código-fonte]

Versor tangencial[editar | editar código-fonte]

Em cada ponto de uma trajetória pode definir-se um versor tangencial \vec{e}_\mathrm{t}, na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento. A figura abaixo mostra o versor tangencial em três pontos A, B e P de uma trajetória.2

Versor tangencial \vec e_t em três pontos da trajetória.

Observe-se que no ponto P existem dois versores tangenciais. O objeto chega a ponto P deslocando-se para a direita e um pouco para cima, direção essa que é definida pelo versor tangencial em azul na figura acima, ficando em repouso no ponto P; num instante posterior o objeto começa novamente a deslocar-se, agora em direção para a esquerda e para baixo, representada pelo vetor tangencial a verde na figura.2

Os únicos pontos da trajetória onde a direção tangente tem uma descontinuidade (dois vetores tangenciais no mesmo ponto), são os pontos em que a velocidade é nula. Nos pontos onde a velocidade não for nula, deverá existir sempre um único versor tangencial \vec{e}_\mathrm{t}, que apontará na direção e sentido da velocidade. Isto é, a velocidade pode ser escrita:

\vec{v} = v\,\vec{e}_\mathrm{t}

A velocidade \vec{v} é igual à derivada do vetor posição \vec{r}:

\vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t}

O vetor posição \vec{r} não tem de ter nenhuma relação com o versor tangencial, já que \vec{r} depende do ponto que esteja a ser usado como origem do referencial (ver figura abaixo).

No entanto, a equação acima garante que, independentemente da escolha do referencial, a derivada de \vec{r} será sempre o mesmo vetor (velocidade) na direção tangencial.2

Se \Delta\,\vec{r} for o vetor deslocamento durante um intervalo de tempo \Delta\,t (figura abaixo), a distância percorrida durante esse intervalo, \Delta\,s, é sempre maior ou igual que o módulo de \Delta\,\vec{r}.

A distância percorrida é medida sobre a trajetória, enquanto que o módulo do deslocamento é medido no segmento de reta entre os pontos inicial e final.

O módulo de \Delta\,\vec{r} só seria igual a \Delta\,s se a trajetória fosse reta, com versor tangencial constante. 2

No limite quando \Delta\,t for muito pequeno, os dois pontos estarão muito próximos na trajetória e; assim sendo, a direção de \Delta\,\vec{r} será aproximadamente a mesma direção do versor tangencial e o módulo de \Delta\,\vec{r} será aproximadamente igual a \Delta\,s. A derivada do vetor posição será então,

Deslocamento vetorial entre dois pontos nas posições \vec r e \vec r + \Delta r

\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\vec{r}}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,s}{\Delta\,t}\;\vec{e}_\mathrm{t} = \dfrac{\mathrm{d}\,s}{\mathrm{d}\,t}\,\vec{e}_\mathrm{t}

E, substituindo na equação \vec{v} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{r}}{\mathrm{d}\,t} , obtém-se:

\vec{v} = \dot{s}\,\vec{e}_\mathrm{t}

O valor da velocidade, em qualquer movimento, é sempre igual à derivada da distância percorrida, s , em ordem ao tempo, já que \dot{s} não é apenas uma componente da velocidade mas sim o valor da velocidade.2

Versor normal[editar | editar código-fonte]

A aceleração \vec{a} é igual à derivada da velocidade em ordem ao tempo e, como tal, obtém-se derivando o lado direito da equação, 2

\vec{v} = \dot{s}\,\vec{e}_\mathrm{t}

,temos :

\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{v}}{\mathrm{d}\,t} = \ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t}

Variação do versor tangencial

Observe-se que a derivada do vetor tangencial não é nula, porque esse vetor não é necessariamente igual em diferentes instantes. A figura ao lado, mostra como calcular a derivada de \vec{e}_\mathrm{t}.

Deslocando os dois versores tangenciais dos pontos A e B da primeira figura para um ponto comum, o aumento de \vec{e}_\mathrm{t} no intervalo desde A até B é o vetor \Delta\,\vec{e}_\mathrm{t} que une os dois vetores.

Sendo o módulo de \vec{e}_\mathrm{t} igual a 1, os dois versores \vec{e}_\mathrm{t} na figura acima descrevem um arco de círculo com raio 1 e ângulo \Delta\,\theta.

Se o ângulo for medido em radianos, o comprimento desse arco será igual a \Delta\,\theta.

Se o intervalo de tempo \Delta\,t for aproximadamente zero, os dois pontos considerados, A e B, estarão muito próximos na trajetória, o vetor \Delta\,\vec{e}_\mathrm{t} será perpendicular à trajetória e o seu módulo será aproximadamente igual ao arco de círculo \Delta\,\theta; conclui-se que a derivada de \vec{e}_\mathrm{t} é:

\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\frac{\Delta\,\theta}{\Delta\,t}\;\vec{e}_\mathrm{n} = \dot{\theta}\,\vec{e}_\mathrm{n}

Em que \vec{e}_\mathrm{n} é o {versor normal}, perpendicular à trajetória, e

\dot{\theta} representa o valor da {velocidade angular}.

Substituindo essa derivada na equação ...

\vec{a} = \dfrac{\mathrm{d}\,\vec{v}}{\mathrm{d}\,t} = \ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dfrac{\mathrm{d}\,\vec{e}_\mathrm{t}}{\mathrm{d}\,t}

, obtém-se a expressão para a aceleração:

\ddot{s}\;\vec{e}_\mathrm{t} + \dot{s}\,\dot{\theta}\;\vec{e}_\mathrm{n}

Concluindo, a aceleração tem uma componente tangencial à trajetória e uma componente normal (perpendicular) à trajetória.

A componente tangencial da aceleração tangencial, a_\mathrm{t}=\ddot{s}, é a aceleração segundo a trajetória.

A componente normal da {aceleração normal} é igual ao produto do valor da velocidade \dot{s} pelo valor da velocidade angular \dot{\theta}:

a_\mathrm{n}=\dot{s}\,\dot{\theta}

Tendo em conta que os versores \vec{e}_\mathrm{t} e \vec{e}_\mathrm{n} são perpendiculares em todos os pontos da trajetória, a equação acima implica que o valor da aceleração, a , será a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são as componentes tangencial e normal da aceleração; o teorema de Pitágoras para esse triângulo é então,

a^2 = a_\mathrm{t}^2 + a_\mathrm{n}^2

Versores tangencial e normal em alguns pontos da trajetória

O ângulo de rotação do versor tangencial, \Delta\,\theta, é também igual ao ângulo de rotação do versor normal \vec{e}_\mathrm{n}.

A figura acima mostra os versores normais nos mesmos pontos A e B da trajetória na figura inicial da secção (versor).

Repare que no ponto A existem dois versores normais, com a mesma direção mas sentidos opostos, porque a trajetória curva-se para cima antes do ponto A, mas a partir do ponto A começa a curvar-se para baixo. Esse tipo de ponto, onde o sentido da curvatura muda, denomina-se ponto de inflexão.

No ponto P (figura acima) existem duas direções normais, porque, conforme referido na secção anterior, existem dois versores tangenciais. Em qualquer ponto o versor normal aponta no sentido em que a trajetória se curva, excepto no caso de uma trajetória retilínea, em que existem infinitos versores perpendiculares ao versor tangencial \vec{e}_\mathrm{t}.

Raio de curvatura.

A figura ao lado mostra o versor normal no início e no fim do percurso entre os pontos A (instante t_0) e B (instante t_0+\Delta\,t) correspondente ao movimento da figura anterior.

As direções dos dois versores normais cruzam-se num ponto comum C. As distâncias desde C até os pontos A e B são diferentes (R_\mathrm{A} e R_\mathrm{B}), mas

serão iguais no limite \Delta\,t\rightarrow 0, em que o ponto C aproxima-se do centro de curvatura da curva.

A distância desde o centro de curvatura num instante e o ponto da trajetória, nesse mesmo instante, é o raio de curvatura, R, da trajetória.

Em cada ponto da trajetória existe um centro e um raio de curvatura. Cada percurso infinitesimal de comprimento \mathrm{d}\,s pode ser aproximado por um arco

de circunferência de raio R e ângulo \mathrm{d}\,\theta;

a distância percorrida é o comprimento desse arco :

\mathrm{d}\,s=R\,\mathrm{d}\,\theta

Assim sendo, conclui-se que o valor da velocidade angular é:


\dot{\theta} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\dfrac{\Delta\,\theta}{\Delta\,t} = \lim_{\Delta\,t\rightarrow 0}\;\dfrac{\Delta\,s}{R\,\Delta\,t} = \dfrac{\dot{s}}{R}

Ou seja, em cada ponto da trajetória o valor da velocidade angular \dot{\theta} é igual ao valor da velocidade, \dot{s} , dividida pelo raio de curvatura R nesse ponto.

Usando este resultado, a componente normal da aceleração, a_\mathrm{n} , pode ser escrita do modo seguinte:


a_\mathrm{n} = \dfrac{v^2}{R}

O versor normal e a componente normal da aceleração, apontam sempre no sentido do centro de curvatura. Como tal, a componente normal da aceleração, a_\mathrm{n}, é chamada habitualmente{aceleração centrípeta}.

Referências

  1. http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_2)/Geometria_tridimensional/Vetores_no_espa%C3%A7o
  2. a b c d e f [ Dinâmica e Sistemas Dinâmicos. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 267 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-1-7. Acesso em 22 jun. 2013.
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