Triângulo retângulo

ΔABC é um triângulo retângulo, pois BĈA = 90°

Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, para tanto basta que tenha um ângulo reto (90°), pois a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados. A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.

Elementos do triângulo retângulo

Elementos de um triângulo retângulo. Os pontos A, B e C, os lados opostos a (hipotenusa), b e c (catetos) e as projeções de b e c, m e n.

Um triângulo retângulo é composto por quatro principais elementos:

• Catetos;
• Hipotenusa;
• Altura relativa à hipotenusa;
• Projeções dos catetos.

Catetos

Os catetos são os menores lados do triângulo retângulo. Eles formam o ângulo de 90°.

Altura relativa à hipotenusa

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a hipotenusa e o vértice oposto.

Projeções dos catetos

A altura relativa à hipotenusa divide-a em duas partes, denominadas projeções dos catetos.

Relações métricas do triângulo retângulo

As relações métricas do triângulo retângulo são quatro. Os três triângulos formados ao traçar a altura relativa à hipotenusa são retângulos e semelhantes.

Ilustração dos principais elementos do triângulo retângulo: a é a hipotenusa, b o cateto maior, c o cateto menor, h a altura relativa à hipotenusa, m a projeção do cateto b e n a projeção do cateto c

• A hipotenusa é igual à soma das projeções.

$a=m+n$$a=m+n$

Por semelhança de triângulos, temos que:

• O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos.
•  : ${\frac {h}{m}}={\frac {n}{h}}\Rightarrow h^{2}=mn$$\frac{h}{m}=\frac{n}{h} \Rightarrow h^2=mn$
• O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a sua projeção (que se encontra do seu lado) e a hipotenusa.
•  : ${\frac {b}{a}}={\frac {m}{b}}\Rightarrow b^{2}=am$$\frac{b}{a}=\frac{m}{b} \Rightarrow b^2 = am$
•  : ${\frac {c}{a}}={\frac {n}{c}}\Rightarrow c^{2}=an$$\frac{c}{a}=\frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = an$
• O produto entre a hipotenusa e a altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos.
•  : ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{h}}\Rightarrow ah=bc$$\frac{a}{c}=\frac{b}{h} \Rightarrow ah=bc$

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras diz que:

“ A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. ”

ou, em linguagem matemática:

hipotenusa (AB)² = cateto (BC)² + cateto (CA)²

Relações trigonométricas do triângulo retângulo

Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. Há outras três: Cotangente, Secante e Cossecante.

Seno de um ângulo

É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem :

${\mbox{sen }}A={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$$\mbox{sen } A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}$

Cosseno de um ângulo

Cosseno: É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem::

$\cos A={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{hipotenusa}}}$$\cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}$

Tangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem::

${\mbox{tg }}A={{\mbox{sen }}A \over \cos A}={{\mbox{cateto oposto}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$$\mbox{tg } A = {\mbox{sen } A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}$

Cotangente de um ângulo

É dado pela razão entre o Cosseno e o Seno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem:

${\mbox{cotg }}A={\cos A \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{cateto adjacente}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$$\mbox{cotg } A = {\cos A \over \mbox{sen } A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}$

Secante de um ângulo

É dado pelo inverso do cosseno desse ângulo ou entre os lados que formam o próprio ângulo, dado na seguinte ordem:

$\sec A={1 \over \cos A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto adjacente}}}$$\sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}}$

Cossecante de um ângulo

É dado pelo inverso do seno desse ângulo ou entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado na seguinte ordem:

${\mbox{cossec }}A={1 \over {\mbox{sen }}A}={{\mbox{hipotenusa}} \over {\mbox{cateto oposto}}}$$\mbox{cossec } A = {1 \over \mbox{sen } A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}}$

Ângulos notáveis

Graus	Radianos	sen	cos	tg	cotg	sec	cossec
0	0	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$	$0$$0$	$\infty$$\infty$	$1$$1$	$\infty$$\infty$
30	${\tfrac {\pi }{6}}$$\tfrac{\pi}{6}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$	${\sqrt {3}}$$\sqrt{3}$	${\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}$$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$2$$2$
45	${\tfrac {\pi }{4}}$$\tfrac{\pi}{4}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$$\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}$	$1$$1$	$1$$1$	${\tfrac {2{\sqrt {2}}}{2}}$$\tfrac{2\sqrt{2}}{2}$	${\tfrac {2{\sqrt {2}}}{2}}$$\tfrac{2\sqrt{2}}{2}$
60	${\tfrac {\pi }{3}}$$\tfrac{\pi}{3}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$$\tfrac{\sqrt{1}}{2}=\tfrac{1}{2}$	${\sqrt {3}}$$\sqrt{3}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{3}}$$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2$$2$	${\tfrac {2{\sqrt {3}}}{3}}$$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$
90	${\tfrac {\pi }{2}}$$\tfrac{\pi}{2}$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$$\tfrac{\sqrt{4}}{2}=1$	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$$\tfrac{\sqrt{0}}{2}=0$	$\infty$$\infty$	$0$$0$	$\infty$$\infty$	$1$$1$

Circunferência inscrita num triângulo retângulo

O diâmetro (d) de uma circunferência inscrita num triângulo rectângulo (a b c) é igual à soma dos catetos, menos a hipotenusa, representado pela seguinte fórmula:

$a+b=c+d$$a + b = c + d$

• $a=$$a =$ cateto
• $b=$$b =$ cateto
• $c=$$c =$ hipotenusa
• $r=$$r =$ raio da circunferência inscrita
• $d=$$d =$ diâmetro da circunferência inscrita

$\left\{{\begin{matrix}a=x+r\Rightarrow x=a-r\,\left(I\right)\\b=y+r\Rightarrow y=b-r\,\left(II\right)\\c=x+y\,\left(III\right)\end{matrix}}\right.$$\left\{ \begin{matrix} a=x+r \Rightarrow x=a-r \, \left ( I \right )\\ b=y+r \Rightarrow y=b-r \, \left (II \right )\\ c=x+y \, \left (III \right ) \end{matrix} \right.$

Substituindo I e II em III, teremos

$c=a-r+b-r\Rightarrow c=a+b-2r\Rightarrow c+2r=a+b$$c=a-r+b-r \Rightarrow c=a+b-2r \Rightarrow c+2r=a+b$

Como:

$d=2r\Rightarrow c+d=a+b$$d=2r \Rightarrow c+d=a+b$

Ver também

• Triângulo
• Teorema de Pitágoras
• Trigonometria

Ligações externas

• Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo
• Calculando a área do triângulo retângulo