Trigonometria

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Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.[1] [2]

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Sobre a trigonometria[editar | editar código-fonte]

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo \alpha são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a \alpha e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de \alpha. Este número é chamado de seno[3] de A e é escrito como \operatorname{sen}\alpha Similarmente, pode-se definir :

  • o cosseno (ou co-seno) de \alpha: é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo \alpha em relação ao comprimento da hipotenusa
  • a tangente trigonométrica de \alpha
: é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo \alpha em relação ao comprimento do cateto adjacente
  • a co-tangente de \alpha: é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo \alpha em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
  • a secante trigonométrica de \alpha: é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo \alpha - é o inverso do cosseno
  • a co-secante de \alpha: é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo \alpha - é o inverso do seno.

Círculo Trigonométrico[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Círculo trigonométrico
Círculo trigonométrico

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.

Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Seno

Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

Como o seno é esta projeção e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{sen}(x)\leq1, ou seja, a imagem do seno é o intervalo fechado [-1,1].

Cosseno[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Como o cosseno é esta projeção, e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que, \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1, ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado [-1,1].

Tangente[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo trigonométrico que, por definição, é igual a 1, de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical. Observe que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

Algumas relações[editar | editar código-fonte]

Triângulo Retângulo.

Seja o triângulo ABC, retângulo em A, têm-se, pelas definições de seno e cosseno:

Círculo trigonométrico, com a posição das funções seno, cosseno, tangente e cotangente explicitadas.
 \operatorname{sen} \alpha = {\text{cateto oposto} \over \text{hipotenusa}} = {\text{c} \over \text{a}}
 \qquad \cos \alpha = {\text{cateto adjacente} \over \text{hipotenusa}} = {\text {b} \over \text{a}}

Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cossecante.

No triângulo ABC acima, a tangente de  \alpha pode ser calculada através da razão entre o cateto oposto e o adjacente, como se observa em sua definição. Porém ela também pode ser obtida pela razão entre seno e cosseno, da seguinte forma:

 \tan \alpha = {\text{cateto oposto} \over \text{cateto adjacente}} = {\text{a} . \sen\alpha \over \text{a}.\cos\alpha } = {\operatorname{sen} \alpha \over \cos \alpha}
Secante e Cossecante no círculo trigonométrico unitário

Da mesma forma que a tangente, a cotangente de  \alpha pode ser definida como uma razão entre catetos, nesse caso como a razão entre os catetos adjacente e oposto. Portanto, a cotangente pode ser expressa através da razão entre cosseno e seno como também sendo o inverso da tangente.

 \cot \alpha = {\text{cateto adjacente} \over \text{cateto oposto}} = {\text{a} . \cos \alpha \over \text{a} . \sen \alpha}= {\cos \alpha \over \operatorname{sen} \alpha} = {1\over\tan\alpha}

A secante e a cossecante ficam definidas por serem o inverso do cosseno e do seno, respectivamente. Portanto, a secante e a cossecante de  \alpha podem ser expressas da seguinte forma:

 \qquad \sec \alpha = {1 \over \cos \alpha}   = {\text{hipotenusa} \over \text{cateto adjacente}}
 \qquad \csc \alpha = {1 \over \operatorname{sen} \alpha}   = {\text{hipotenusa} \over \text{cateto oposto}}
Relógio de sol
O círculo unitário

Até então, as funções trigonométricas tem sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se estendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).

Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sido tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.

Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.


Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras estabelece que "A soma do quadrado das medidas dos catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso c e b) é igual ao quadrado da medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou a)". Assim: a² = b² + c² . Um corolário desse teorema é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.

Aplicações da trigonometria[editar | editar código-fonte]

Existem diversas aplicações da trigonometria e das funções trigonométricas. Por exemplo, a técnica da triangulação é usada em astronomia para estimar a distância das estrelas próximas; em geografia para estimar distâncias entre divisas e em sistemas de navegação por satélite. As funções seno e cosseno são fundamentais para a teoria das funções periódicas, as quais descrevem as ondas sonoras e luminosas.

Campos que fazem uso da trigonometria ou funções trigonométricas incluem astronomia (especialmente para localização de posições aparentes de objetos celestes, em qual a trigonometria esférica é essencial) e portanto navegação (nos oceanos, em aviões, e no espaço), teoria musical, acústica, óptica, análise de mercado, eletrônica, teoria da probabilidade, estatística, biologia, equipamentos médicos (por exemplo, Tomografia Computadorizada e Ultrassom), farmácia, química, teoria dos números (e portanto criptologia), sismologia, meteorologia, oceanografia, muitas das ciências físicas, solos (inspeção e geodesia), arquitetura, fonética, economia, engenharia, gráficos computadorizados, cartografia, cristalografia e desenvolvimento de jogos.

Identidades Trigonométricas[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Identidade trigonométrica
Relação entre seno e cosseno no círculo trigonométrico

Algumas equações envolvendo funções trigonométricas são verdade para todos os ângulos e são conhecidas como "identidades trigonométricas". Muitas expressam relações geométricas importantes. Por exemplo, as identidades Pitagoreanas são uma expressão do Teorema de Pitágoras. Aqui há algumas das identidades mais comumente utilizadas, assim como as fórmulas mais importantes conectando ângulos e lados de um triângulo arbitrário.

Relação fundamental da trigonometria e seus corolários[editar | editar código-fonte]

As seguintes relações serão demonstradas com base nos círculos trigonométricos unitários ao lado.

Relação Fundamental[editar | editar código-fonte]

É conhecida como relação fundamental da trigonometria a seguinte relação:
\begin{align}
\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \end{align}
Demonstração:
Seja o triângulo retângulo ACH, com catetos \overline{AC} \,\! e \overline{CH} \,\! e hipotenusa \overline{AH} \,\!, observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: \overline{AC} \,\!= \cos\alpha , \overline{CH} \,\! = \sen\alpha e \overline{AH} \,\! = 1.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
(\overline{AC})^2 + (\overline{CH})^2 = (\overline{AH})^2 \Rightarrow (\cos\alpha)^2 + (\sen\alpha)^2 = 1^2.
Logo: \begin{align}
\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \end{align}.

Corolários[editar | editar código-fonte]

\tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha

Demonstração Geométrica:
Seja o triângulo retângulo ADF, com catetos \overline{AD} \,\! e \overline{DF} \,\! e hipotenusa \overline{AF} \,\!, observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: \overline{AD} \,\! = 1 , \overline{DF} \,\! = \tan\alpha e \overline{AF} \,\! = \sec\alpha.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
(\overline{AD})^2 + (\overline{DF})^2 = (\overline{AF})^2 \Rightarrow 1^2 + (\tan\alpha)^2 = (\sec\alpha)^2.
Logo: \tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha.
Demonstração Algébrica:
Relação entre secante e tangente no círculo trigonométrico
É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por \cos^2\alpha, da seguinte forma:
\begin{align}
\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \rightarrow {\operatorname{sen}^2\alpha \over \cos^2\alpha} + {\cos^2\alpha\over\cos^2\alpha} = {1\over\cos^2\alpha} \rightarrow \operatorname{tan}^2\alpha + 1 = \operatorname{sec}^2\alpha \end{align}
Relação entre cossecante e cotangente no círculo trigonométrico

1+ \cot^2\alpha = \csc^2\alpha

Demonstração Geométrica:
Seja o triângulo retângulo AEG, com catetos \overline{AE} \,\! e \overline{EG} \,\! e hipotenusa \overline{AG} \,\!, observa-se, como já foi demonstrado anteriormente que: \overline{AE} \,\! = 1 , \overline{EG} \,\! = \cot\alpha e \overline{AG} \,\! = \csc\alpha.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
(\overline{AE})^2 + (\overline{EG})^2 = (\overline{AG})^2 \Rightarrow 1^2 + (\cot\alpha)^2 = (\csc\alpha)^2.
Logo: 1+ \cot^2\alpha = \csc^2\alpha.
Demonstração Algébrica:
É possível demonstrar esse corolário através da relação fundamental dividindo todos os termos por \sen^2\alpha, da seguinte forma:
\begin{align}
\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha &= 1 \rightarrow {\operatorname{sen}^2\alpha \over \operatorname{sen}^2\alpha} + {\cos^2\alpha\over\sen^2\alpha} = {1\over\sen^2\alpha} \rightarrow {1 + \operatorname{cot}^2\alpha} = \operatorname{csc}^2\alpha \end{align}
Tendo em mente esses dois resultados podemos ainda demonstrar as seguintes relações:
\begin{align}
\cos^2\alpha = {1\over\sec^2\alpha} \end{align} e \begin{align}
\sec^2\alpha = \tan^2\alpha + 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = {1\over \tan^2\alpha + 1} \end{align}
\begin{align}
{\sen^2\alpha = \sen^2\alpha} \rightarrow \sen^2\alpha = sen^2\alpha . {\cos^2\alpha\over\cos^2\alpha} = \cos^2\alpha . \tan^2\alpha = \tan^2\alpha . {1\over{tan^2\alpha+1}} \Rightarrow \sen^2\alpha = {\tan^2\alpha\over{\tan^2\alpha+1}}\end{align}

Identidades de soma e subtração[editar | editar código-fonte]

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma e da diferença de números reais, se conhecermos as funções circulares desses números.

Cosseno da Soma[4] [editar | editar código-fonte]

Para descobrir o cosseno da soma de dois arcos (ou ângulos) segue a seguinte fórmula:
Soma de arcos
\cos(\text{a}+\text{b})= \cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}
Demonstração:
Sejam os pontos \text{A}, \text{B}, \text{C} da figura ao lado, associados aos arcos a, -b e a+b, respectivamente. Assim, conforme já fora demonstrado, as coordenadas cartesianas dos pontos \text{A}, \text{B}, \text{C} e \text{E} são as seguintes:
\text{A} (\cos\text{a}, \sen\text{a})
\text{B} (\cos\text{b}, -\sen\text{b})
\text{C} (\cos(\text{a}+\text{b}), \sen(\text{a}+\text{b}))
\text{E} (1, 0).
Observa-se, também, que os arcos que há entre os pontos A e B é igual ao arco que há entre o ponto E e C, o que faz com as respectivas cordas sejam iguais, logo: \overline{AB} \,\! = \overline{EC}.
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos da geometria analítica, temos:
(\overline{AB})^2 = [\cos\text{a}-\cos\text{b}]^2+[\sen\text{a}-(-\sen\text{b})]^2 e (\overline{EC})^2 = [\cos(\text{a}+\text{b})-1]^2+[\sen(\text{a}+\text{b})-0]^2.
Simplificando a primeira relação, temos:
(\overline{AB})^2 = \cos^2\text{a}-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+ \cos^2\text{b} +\sen^2\text{a}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}+\sen^2\text{b}.
Sabendo que \sen^2\text{a} + \cos^2\text{a}=1, podemos reescrever:
(\overline{AB})^2 = 2-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}.
Simplificando a segunda relação, temos:
(\overline{EC})^2 = \cos^2(\text{a}+\text{b}) - 2.\cos(\text{a}+\text{b})+1+\sen^2(\text{a}+\text{b}).
Sabendo que \sen^2(\text{a}+\text{b}) + \cos^2(\text{a}+\text{b})=1, podemos reescrever:
(\overline{EC})^2 = 2-2.\cos(\text{a}+\text{b}).
Por fim, sabendo que se \overline{AB} \,\! = \overline{EC}, então (\overline{AB} \,\!)^2 = (\overline{EC})^2; logo podemos igualar as duas relações da seguinte forma:
2-2.\cos(\text{a}+\text{b})= 2-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}
Podemos, por fim isolar o cosseno da soma em um dos lados da igualdade:
\cos(\text{a}+\text{b}) =\frac{-2.\cos\text{a}.\cos\text{b}+2.\sen\text{a}.\sen\text{b}+2-2}{-2}\Rightarrow\cos(\text{a}+\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b} .

Cosseno da diferença:[editar | editar código-fonte]

De forma similar ao cosseno da soma, o cosseno da diferença pode ser expresso por:
\cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{a}.\sen\text{b}
Demonstração:
Seja o cosseno da soma já demonstrado, podemos demonstrar o cosseno da diferença através de algebrismos simples:
\cos(\text{a}-\text{b})=\cos[\text{a}+(-\text{b})]
Assim, aplicando-se a formula do cosseno da soma obtêm-se:
\cos[\text{a}+(-\text{b})]=\cos\text{a}.\cos(-\text{b})-\sen\text{a}.\sen(-\text{b})
De tal modo, sabendo que:
\sen(-\text{b})=-\sen\text{b} e \cos(-\text{b})=\cos\text{b}
Podemos reescrever como:
\cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.(-\sen\text{b})
Logo:
\cos(\text{a}-\text{b})=\cos\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{a}.\sen\text{b} \,\!

Seno da soma[editar | editar código-fonte]

Para descobrir o seno da soma entre dois arcos segue a seguinte fórmula:
\sen(\text{a}+\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}
Demonstração:
Através das relações de simetria entre seno e cosseno, sabemos que:
\sen\text{x}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\text{x}\right) e \cos\text{x}=\sen\left(\frac{\pi}{2}-\text{x}\right)
Assim, podemos escrever:
\sen(\text{a}+\text{b})=\cos\left[\frac{\pi}{2}-(\text{a}+\text{b})\right] = \cos\left[(\frac{\pi}{2}-\text{a})-\text{b}\right]
Aplicando-se a já demonstrada fórmula do cosseno da diferença, temos:
\cos\left[(\frac{\pi}{2}-\text{a})-\text{b}\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\text{a}\right).\cos\text{b}+\sen\left(\frac{\pi}{2}-\text{a}\right).\sen\text{b}
Portanto, aplicando novamente as relações de simetria, chegamos à formula:
\sen(\text{a}+\text{b})= \sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}

Seno da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma similar ao seno da soma, o seno da diferença é expresso por:
\sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{b}.\cos\text{a}
Demonstração:
Seja o seno da soma já demonstrado, é possível demonstrar o seno da diferença através de algebrismos simples:
\sen(\text{a}-\text{b})=\sen[\text{a}+(-\text{b})]
Aplicando-se a fórmula do seno da soma temos:
\sen[\text{a}+(-\text{b})]=\sen\text{a}.\cos(-\text{b})+\sen(-\text{b}).\cos\text{a}
Tendo em mente que:
\sen(-\text{b})=-\sen\text{b} e \cos(-\text{b})=\cos\text{b}
Podemos reescrever:
\sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.(\cos\text{b})+(-\sen\text{b}).\cos\text{a}
Logo:
\sen(\text{a}-\text{b})=\sen\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{b}.\cos\text{a}

Tangente da Soma[editar | editar código-fonte]

Para obter a tangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}
Demonstração:
Seja \tan\text{x}=\frac{\sen\text{x}}{\cos\text{x}} , podemos escrever:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\sen(\text{a}+\text{b})}{\cos(\text{a}+\text{b})}
Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do seno e do cosseno da soma, temos que:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}
Podemos dividir o denominador e o numerador por \cos\text{a}.\cos\text{b} de forma a reescrever a fórmula:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}=\frac{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}+\frac{\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}-\frac{\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\cos\text{a}.\cos\text{b}}}
Simplificando, temos:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{1.\tan\text{a}+1.\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}
Logo:
\tan(\text{a}+\text{b})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{b}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{b}}.

Tangente da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma análoga à tangente da soma, a tangente da diferença pode ser obtida através da fórmula:
\tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}-\tan\text{b}}{1+\tan\text{a}.\tan\text{b}}
Demonstração:
Sabendo que
\tan(\text{a}-\text{b})=\tan[\text{a}+(-\text{b})]
Podemos aplicar a fórmula da tangente da soma do seguinte modo:
\tan[\text{a}+(-\text{b})]=\frac{\tan\text{a}-\tan(-\text{b})}{1+\tan\text{a}.\tan(-\text{b})}
Tendo em mente que \tan(-\text{b})=-\tan\text{b}, podemos reescrever como:
\tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}-(-\tan\text{b})}{1+\tan\text{a}.(-\tan\text{b})}
Logo:
\tan(\text{a}-\text{b})=\frac{\tan\text{a}-\tan\text{b}}{1+\tan\text{a}.\tan\text{b}}.

Cotangente da soma[editar | editar código-fonte]

Para calcular a cotangente da soma de dois arcos utiliza-se a seguinte fórmula:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}+\cot\text{b}}
Demonstração:
Seja \cot\text{x}=\frac{\cos\text{x}}{\sen\text{x}}, podemos escrever:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cos(\text{a}+\text{b})}{\sen(\text{a}+\text{b})}.
Aplicando-se as fórmulas já demonstradas do cosseno e do seno da soma, temos:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}
Podemos dividir o numerador e o denominador por \sen\text{a}.\sen\text{b} para reescrever a fórmula:
\cot(\text{a}+\text{b})= \frac{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}-\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}+\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}=\frac{\frac{\cos\text{a}.\cos\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}-\frac{\sen\text{a}.\sen\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}{\frac{\sen\text{a}.\cos\text{b}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}+\frac{\sen\text{b}.\cos\text{a}}{\sen\text{a}.\sen\text{b}}}
Simplificando:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{1.\cot\text{b}+1.\cot\text{a}}
Logo:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}+\cot\text{b}}

Cotangente da diferença[editar | editar código-fonte]

De forma análoga à cotangente da soma, pode-se calcular a cotangente da diferença entre dois arcos aplicando-se a seguinte fórmula:
\cot(\text{a}-\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}+1}{\cot\text{b}-\cot\text{a}}
Demonstração
Seja \cot(\text{a}-\text{b})=\cot[\text{a}+(-\text{b})], podemos aplicar a fórmula da cotangente da soma da seguinte maneira:
\cot[\text{a}+(-\text{b})]=\frac{\cot\text{a}.\cot(-\text{b})-1}{\cot\text{a}+\cot(-\text{b})}
Sabendo que \cot(-\text{b})=-\cot\text{b}, podemos reescrever:
\cot(\text{a}-\text{b})=\frac{\cot\text{a}.(-\cot\text{b})-1}{\cot\text{a}+(-\cot\text{b})}=\frac{-\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}-\cot\text{b}}
Logo:
\cot(\text{a}+\text{b})=\frac{\cot\text{a}.\cot\text{b}-1}{\cot\text{a}+\cot\text{b}}

Fórmulas da duplicação de ângulos[editar | editar código-fonte]

Seno do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular o seno de um arco do tipo 2.\text{a} utiliza-se a fórmula:

\sen(2\text{a})=2.\sen\text{a}.\cos\text{a}

Demonstração:

Seja \sen(2.\text{a})=\sen(\text{a}+\text{a}) , podemos aplicar a fórmula do seno da soma, de modo que:

\sen(\text{a}+\text{a})=\sen\text{a}.\cos\text{a}+\sen\text{a}.\cos\text{a}

Logo:

\sen(2\text{a})=2.\sen\text{a}.\cos\text{a}

Cosseno do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular o cosseno de um arco do tipo 2.\text{a} pode-se utilizar as seguintes fórmulas:

    • \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a}

Demonstração:

Seja \cos(2.\text{a})=\cos(\text{a}+\text{a}) podemos aplicar a fórmula do cosseno da soma para obter:

\cos(\text{a}+\text{a})=\cos\text{a}.\cos{a}-\sen\text{a}.\sen\text{a}

Logo:

\cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a}

    • \cos(2\text{a})=2.\cos^2\text{a}-1

Demonstração:

Seja a relação fundamental \cos^2\text{a}+\sen^2\text{a}=1, já demonstrada, temos que \sen^2\text{a}=1-\cos^2\text{a}

Aplicando-se essa relação na fórmula demonstrada acima temos:

\cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-(1-\cos^2\text{a})=\cos^2\text{a}-1+\cos^2\text{a}

Logo:

\cos(2\text{a})=2.\cos^2\text{a}-1

    • \cos(2\text{a})=1-2.\sen~2\text{a}

Demonstração

Seja a relação fundamental \cos^2\text{a}+\sen^2\text{a}=1, temos que \cos^2\text{a}=1-\sen^2\text{a}

Ao aplicarmos isso na fórmula \cos(2\text{a})=\cos^2\text{a}-\sen^2\text{a}, temos:

\cos(2\text{a})=1-\sen^2\text{a}-\sen^2\text{a}

Logo:

\cos(2\text{a})=1-2.\sen^2\text{a}

Tangente do dobro[editar | editar código-fonte]

Para calcular a tangente de um arco do tipo 2.\text{a} pode-se utilizar a seguinte fórmula:

\tan(2\text{a})=\frac{2.\tan\text{a}}{1-\tan\text{a}}

Demonstração:

Seja \tan(2.\text{a})=\tan(\text{a}+\text{a}), podemos aplicar a fórmula da tangente da soma:

\tan(\text{a}+\text{a})=\frac{\tan\text{a}+\tan\text{a}}{1-\tan\text{a}.\tan\text{a}}

Logo:

\tan(2\text{a})=\frac{2.\tan\text{a}}{1-\tan^2\text{a}}

Fórmulas da divisão do ângulo em dois[editar | editar código-fonte]

Seno da divisão:[editar | editar código-fonte]

Para calcular o seno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

\sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}

Demonstração:

Sabendo que \cos(2.\text{x})=1-2.\sen^2\text{x}, podemos definir x=\frac{\text{a}}{2} de modo a reescrever:

\cos(\text{a})=1-2.\sen^2\left(\frac{\text{a}}{2}\right)

Logo, isolando \sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right) temos:

\sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}

Cosseno da divisão[editar | editar código-fonte]

Para calcular o cosseno da metade de um arco, utiliza-se a seguinte fórmula:

\cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}

Demonstração:

Sabendo que \cos(2\text{x})=2.\cos^2\text{x}-1 podemos definir x=\frac{\text{a}}{2}, de modo a reescrever:

\cos\text{a}=2.\cos^2\left(\frac{\text{a}}{2}\right)-1

Portanto, isolando \cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right) temos:

\cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}

Tangente da divisão[editar | editar código-fonte]

Para calcular a tangente da metade de um arco, utiliza-se a fórmula:

\tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{1+\cos\text{a}}}

Demonstração:

Para demonstrar essa fórmula utilizaremos as duas fórmulas demonstradas acima, da seguinte forma:

\tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\frac{\sen\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}}{\pm\sqrt\frac{\cos\text{a}+1}{2}}=\pm\sqrt{\frac{\frac{1-\cos\text{a}}{2}}{\frac{\cos\text{a}+1}{2}}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{2}.\frac{2}{\cos\text{a}+1}}

Logo:

\tan\left(\frac{\text{a}}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\text{a}}{1+\cos\text{a}}}

Note que, para esses três casos, \pm significa que pode haver qualquer dos dois sinais, dependendo do valor de A/2.

Identidades triangulares[editar | editar código-fonte]

Triangle55.png

As identidades que se seguem referem-se a um triângulo com ângulos \widehat{A}, \widehat{B} e \widehat{C} e lados de comprimentos a, b e c, como na figura ao lado. Repare que o lado oposto ao ângulo \widehat{A} é o de comprimento a, o lado oposto ao ângulo \widehat{B} é o de comprimento b e o lado oposto ao ângulo \widehat{C} é o de comprimento c.

Lei dos senos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lei dos senos

A lei dos senos[5] para um triângulo arbitrário diz:

\frac{\operatorname{sen} \widehat{A}}{a} = \frac{\operatorname{sen} \widehat{B}}{b} = \frac{\operatorname{sen} \widehat{C}}{c},

ou equivalentemente:

\frac{a}{\operatorname{sen} \widehat{A}} = \frac{b}{\operatorname{sen} \widehat{B}} = \frac{c}{\operatorname{sen} \widehat{C}} = 2R

Lei dos cossenos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lei dos cossenos

A lei dos cossenos (também conhecida como fórmula dos cossenos) é uma extensão do teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos \widehat{C} ,

ou equivalentemente:

\cos \widehat{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

o teorema de Pitágoras é um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o cosseno de 90°é 0.

Lei das tangentes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lei das tangentes

A lei das tangentes:

\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}
\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(B-C)\right]}
\frac{a+c}{a-c}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+C)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-C)\right]}

Como saber o ângulo interno de um triângulo retângulo[editar | editar código-fonte]

Sendo:

\tan(A) = \frac{\operatorname{sen}(A)}{\cos(A)}

em que:

  • Sen(A) é comprimento do cateto oposto e
  • Cos(A) é o comprimento do cateto adjacente.

A tangente inversa:

\tan^{-1}(A)

ou:

\arctan \left(\frac{\sen(A)}{\cos(A)}\right)

é o ângulo interno.

Referências

  1. Linton, 2004
  2. Trigonometria Brasil Escola. Visitado em 23 de fevereiro de 2012.
  3. Marques, Paulo. Trigonometria, Funções algosobre. Visitado em 24 de fevereiro de 2012.
  4. Iezzi, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria - 8 ed.. [S.l.: s.n.], 2004. ISBN 9788535704570
  5. Ribeiro, Thyago. Lei dos Senos e dos Cossenos Infoescola. Visitado em 25 de fevereiro de 2012.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
  • Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld.
  • Christopher Mark Linton (2006) "The Trigonometric... and His Live.
  • IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria. 8 ed. São Paulo: Atual, 2004.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]