Análise complexa

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A análise complexa é um ramo da matemática que investiga as funções holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em alguma região do plano complexo, e que tomam valores complexos e são diferenciáveis como funções complexas.

Funções Complexas[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto de números complexos. Se z denota qualquer um dos números do conjunto A, então z é denominado uma varíavel complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da varíavel complexa z para com uma outra variável complexa w para cada valor possível de z (elementos do conjunto A), então w é uma função da varíavel complexa z no conjunto A e isto é denotado como w = f(z).O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função w.

Como todo numéro complexo pode ser escrito na forma z = a+bi, em que a = R(z), b = Im(z) indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa w = f(z) na forma f(z) = u(x,y) + i v(x,y). Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

P(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n, em que z é uma varíavel complexa, é uma função polinomial em varíavel complexa.

Limites de Funções Complexas[editar | editar código-fonte]

Seja uma função f definida em todos os pontos em alguma vizinhança de um ponto z_0, exceto possivelmente no próprio ponto z_0. A afirmativa de que o limite de tal função, quando z tende a z_0, é um número w_0, denotado como \lim_{z \to z_0}f(z) = w_0, significa que a função é arbitrariamente próxima do valor w_0 para todos os pontos z numa vizinhança de z_0, exceto possivelmente quando z = z_0, quando esta vizinhança for suficientemente pequena. Assim, dados a função f e dois números complexos z_0 e w_0, existe uma número positivo \delta correspondendo a cada número positivo \epsilon de forma que:

|f(z) - w_0| < \epsilon sempre que |z - z_0| < \delta. (zz_0)

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

A Derivada de uma Função Complexa[editar | editar código-fonte]

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite \lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z)- f(z_0)}{\Delta z} = f'(z) = \frac {d f}{d z}, denominado "derivada" da função f em relação a z no ponto z_0. Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

As Condições de Cauchy-Riemann[editar | editar código-fonte]

Suponha que a função f seja derivável em z_0, em que z_0 = x_0 + i y_0:

f(z) = u(x,y) + i v(x,y)

f'(z) = a + i b

\Delta f = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)

\Delta u = u(x_0 + \Delta x, y_o + \Delta y) - u(x_0,y_0)

e \Delta v, para a mudança correspondente em v(x,y). Então \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y} = a+ i b

e também:

\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} R(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}) = a

\lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} Im(\frac {\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}) = b

Em particular, quando \Delta y = 0, em que \Delta z = \Delta x, esses limites se tornam limites de funções de uma varíavel (\Delta x) de forma que:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x_0 + \Delta x, y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} = a

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {v(x_0 + \Delta x, y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} = b

ou seja, as derivadas parciais \frac {\part u}{\part x} e \frac {\part v}{\part x} com relação a x existem no ponto (x_0,y_0) e

\frac {\part u}{\part x} = a

\frac {\part v}{\part x} = b

O procedimento análogo pode ser feito observando quando \Delta x = 0 (\Delta z = i \Delta y) de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

\frac {\part u}{\part y} = -b

\frac {\part v}{\part y} = a , no ponto (x_0,y_0)

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

\frac {\part u}{\part x}=\frac {\part v}{\part y}

\frac {\part u}{\part y}=-\frac {\part v}{\part x}

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como f'(z) = a + i b, chegamos à expressão f'(z) =\frac {\part u}{\part x} + i \frac {\part v}{\part x} = \frac {\part v}{\part y}- i \frac {\part u}{\part y}, no ponto (x_0,y_0). Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada f'(z) de uma função f = u + i v existe num ponto z, então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a x e y, de cada componente u e v devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, f'(z) é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação f'(z) =\frac {\part u}{\part x} + i \frac {\part v}{\part x} = \frac {\part v}{\part y}- i \frac {\part u}{\part y}.

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Análise complexa


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