Análise complexa

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A análise complexa é um ramo da matemática que investiga as funções holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em alguma região do plano complexo, e que tomam valores complexos e são diferenciáveis como funções complexas.

Funções Complexas[editar | editar código-fonte]

Seja A um conjunto de números complexos. Se denota qualquer um dos números do conjunto A, então é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa para com uma outra variável complexa para cada valor possível de (elementos do conjunto A), então é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como .O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função .

Como todo numéro complexo pode ser escrito na forma , em que indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa na forma . Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

, em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de Funções Complexas[editar | editar código-fonte]

Seja uma função definida em todos os pontos em alguma vizinhança de um ponto , exceto possivelmente no próprio ponto . A afirmativa de que o limite de tal função, quando tende a , é um número , denotado como , significa que a função é arbitrariamente próxima do valor para todos os pontos numa vizinhança de , exceto possivelmente quando , quando esta vizinhança for suficientemente pequena. Assim, dados a função f e dois números complexos e , existe uma número positivo correspondendo a cada número positivo de forma que:

sempre que . ()

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo: 1) o limite da soma é igual a soma dos limites; 2) o limite do produto é igual ao produto dos limites; 3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0); ...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

A Derivada de uma Função Complexa[editar | editar código-fonte]

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite , denominado "derivada" da função em relação a no ponto . Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

As Condições de Cauchy-Riemann[editar | editar código-fonte]

Suponha que a função f seja derivável em , em que :

e , para a mudança correspondente em v(x,y). Então

e também:

Em particular, quando , em que , esses limites se tornam limites de funções de uma variável (\Delta x) de forma que:

ou seja, as derivadas parciais e com relação a x existem no ponto e

O procedimento análogo pode ser feito observando quando de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

, no ponto

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como , chegamos à expressão , no ponto . Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada de uma função existe num ponto , então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a e , de cada componente e devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação .

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Análise complexa


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