Plano complexo

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Plano de Argand-Gauss

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo z como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (afixo ou imagem, quando z está na forma trigonométrica) (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Representação[editar | editar código-fonte]

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

Utilidade[editar | editar código-fonte]

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

Geometria com complexos[editar | editar código-fonte]

A geometria com complexos é comumente utilizada para facilitar as contas para resolução de problemas de números complexos.

Um complexo na sua forma algébrica possuindo parte real e parte imaginária

Desta forma um número complexo pode ser interpretado como um ponto no plano de Argand-Gauss, onde pode ser trabalhado da mesma forma que no plano cartesiano, tendo seus afixos (pontos ) em como e como

Um complexo pode ter associado nele um vetor de origem na origem e extremidade em

Na figura ao lado direito, o ponto no circulo é o afixo de com as coordenadas

O Módulo por definição é a distancia de um ponto até a origem, assim sendo o módulo do complexo representado por pode ser deduzido através da geometria analítica como


Um complexo apresenta também além da forma algébrica, uma forma trigonométrica (também conhecida por forma polar):

O ângulo que é medido a partir do eixo positivo, seguindo em sentido anti-horário, é chamado de argumento de um complexo.

É possível calcular através de relações trigonométricas. Sendo

e

Por exemplo: Se então

Além disso,

e

Assim, a forma trigonométrica de é: