Número imaginário

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Em Matemática, um número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem.

Definição

Uma ilustração do plano complexo. Os números imaginários estão no eixo vertical do plano.

Todo número complexo pode ser escrito como $a+ib,$ em que $a$ e $b$ são números reais e i é a unidade imaginária com a propriedade que

$$\mathrm {i} ^{2}=-1$$

→ $i={\sqrt {-1}}$

O número $a$ é a parte real do número complexo, e $b$ é a parte imaginária. Apesar de Descartes usar inicialmente o termo "número imaginário" para designar o que atualmente é chamado de "número complexo", o termo hoje em dia significa especificamente um número complexo com parte real igual a $0,$ i.e. um número na forma ib. Note que, tecnicamente, $0$ é considerado um número puramente imaginário: $0$ é o único número complexo que é tanto real como puramente imaginário:

$$0=0\times {\sqrt {-1}}$$

Uso

Para alguns pares de estados quânticos, Alice e Bob, os pesquisadores podem adivinhar os estados com 100% de precisão, mas apenas se eles pudessem usar números imaginários em suas medições locais. Quando proibido de usar números imaginários, tornou-se impossível distinguir com precisão os dois estados.

Potências de i

... (repete o padrão da área azul)

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

in = im onde m ≡ n mod 4

As potências de i se repetem em ciclos de 4 valores, seguindo o padrão das primeiras potências inteiras não negativas:

$$i^{0}=1$$

$$i^{1}=i$$

$$i^{2}=-1$$

$$i^{3}=i\cdot i^{2}=i\cdot (-1)=-i$$

De forma geral, se $n\in$  ℕ , dividimos n por 4 e considera-se o resto dessa divisão como o novo expoente de $i.$

Por exemplo:

1. $i^{244}=i^{0}=1,$ visto que $244\div 4=61$ e o resto da divisão é igual a 0;
2. $i^{33}=i^{1}=i,$ pois $33\div 4=8$ e apresenta resto 1;
3. $i^{50}=i^{2}=-1,$ devido a $50\div 4=12$ e ter como resto o valor 2;

No caso de n ser um expoente inteiro negativo, fazemos uso do conceito de inverso:

$$i^{-n}={\frac {1}{i^{n}}}.$$

Ligações externas

• «Why imaginary numbers really do exist» (em inglês) 
• «O número imaginário existe realmente?» 
• «A Introdução dos Números Complexos»