Teorema dos resíduos

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Em análise complexa, o teorema dos resíduos é um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generaliza a fórmula de Cauchy.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um aberto simplesmente conexo de (tal como, por exemplo, um disco aberto ou todo o plano complexo), seja uma parte finita de , seja uma função analítica de em e seja um lacete com valores em . Então o teorema dos resíduos afirma que

onde

  • é o índice de relativamente a ;
  • é o resíduo da função em .

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Considere-se a função de em C definida por e o lacete de [0,2π] em definido por . Um cálculo direto revela que

o que é coerente com o que diz o teorema dos resíduos, pois este afirma que (tomando )

  • Considere-se a função de em definida por e o lacete de em definido por . Então, pelo teorema dos resíduos,

Relação com a fórmula integral de Cauchy[editar | editar código-fonte]

Seja uma função analítica cujo domínio contenha algum disco fechado , para algum  e para algum . Se se definir o lacete de em por , então faz sentido, para cada tal que , considerar o integral de ao longo de e a fórmula de Cauchy diz que

Mas, visto que e que

isto não é mais do que um caso particular do teorema dos resíduos.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.