Resíduo (análise complexa)

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Em análise complexa, o resíduo de uma função analítica f numa singularidade p é um número complexo que permite calcular o valor de um integral de linha de f cuja imagem esteja na vizinhança de p. Há métodos simples de cálculo de resíduos e, por outro lado, o conhecimento dos resíduos de f permite calcular integrais de f ao longo de lacetes arbitrários, através do teorema dos resíduos.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Como exemplo, considere a integral de contorno

onde C é uma curva de Jordan em torno de 0.

Agora calculamos essa integral utilizando os teoremas padrões de integral disponíveis. Assim, a série de Taylor para ez é conhecida, e podemos substituir esta série no integrando. A integral passa a ser

Trazendo o termo 1/z5 para dentro da série, obtemos

A integral agora toma uma forma muito mais simples. Lembre-se que

Então, a integral em torno de C de todos os termos que não estão na forma cz−1 são iguais a zero e a integral é reduzida a

O valor 1/4! é conhecido como o resíduo de ez/z5 em z = 0, e denotado como

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja um subconjunto aberto do plano complexo , e um ponto de . Seja

uma função holomorfa, que apresenta em uma singularidade isolada e possui uma única expansão local na série de Laurent

O resíduo de em é o coeficiente da série de Laurent.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]