Série de Taylor

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Em matemática, uma série de Taylor é uma série de funções da seguinte forma:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n\quad\mbox{na qual }  a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.

Dito de outra maneira, uma série de Taylor é uma expansão de uma função analítica f(x) na vizinhança de um ponto x=a. Uma série de Taylor de uma dimensão é uma expansão de uma função real f(x) ao redor do ponto em que x assume um valor qualquer (digamos, "a"). Neste caso, escrevemos a série da seguinte maneira:[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

f(x)=f(a) \left ( x-a \right )^0+ \frac{f'(a) \left (x-a \right)^1}{1!}+\frac{f''(a) \left ( x-a \right )^2}{2!}+...+\frac{f^{(n)}(a) \left ( x-a \right )^n}{n!}

A constante a é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Toda série de Taylor possui um raio de convergência R com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) |x-a|\leq r<R.

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

R^{-1}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{se }x>0,\\ 0&\text{se }x\le0,\end{cases}

cuja série de Taylor é :

f(x) = 0 + 0 x + 0 x^2 + \ldots

Série de Taylor associada a uma função[editar | editar código-fonte]

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.[9]

A série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]ar, a + r[ é a série de potências dada por


f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns[editar | editar código-fonte]

Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x[10]
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Série geométrica:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Teorema binomial:

(1+x)^\alpha = \sum^{\alpha}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ e todo complexo } \alpha

Funções trigonométricas:

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + ..
\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
onde Bs são números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\tanh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\mathrm{arcsenh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\mathrm{arctanh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Função W de Lambert:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}

Série de Taylor em várias variaveis[editar | editar código-fonte]

A série de Taylor pode também ser definida para funções de  \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de f em torno do ponto X_0 = ( x_1^0, \cdots, x_n^0 ) é dada por:

f ( x_1, \cdots, x_n ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k,

onde  \left (\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)\right)^k denota \frac{\partial^k f}{\partial x_i^k}(X_0).

Ou seja, tem-se:

 \left( \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} (X_0) ( x_i - x_i^0 )\right)^k = \sum\limits_{\alpha _i \in \mathbb{N}, \sum\limits_{i = 1}^{n} \alpha_i = k} \left( \frac{k!}{\alpha_1 ! \cdots \alpha_n !} \cdot \frac{\partial^k f}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n} } (X_0) \cdot ( x_1 - x_1^0)^{\alpha_1} \cdots (x_n-x_n^0)^{\alpha_n}  \right).

No caso particular n = 2 , X_0 = (x_0, y_0):

f (x, y ) = \sum\limits_{k\ge0} \frac{1}{k!} \sum\limits_{i=0}^k \frac{k!}{i! (k-i)!} \cdot \frac{\partial^i f}{\partial x^i} (X_0) \cdot \frac{\partial^{k-i} f}{\partial y^{k-i}}(X_0) \cdot (x-x_0)^i \cdot (y-y_0)^{k-i}.[11]

Série de Maclaurin[editar | editar código-fonte]

A Série de Maclaurin é, basicamente, um caso especial da Série de Taylor, na qual a constante "a" adota um valor nulo, ou seja, "a=0".Logo abaixo podemos ver a Série de Taylor:

	f(x)= f(a)  (x-a)^0+{f'(a)  (x-a)^1 \over 1!}+{f''(a)  (x-a)^2 \over 2!}+{f'''(a)  (x-a)^3 \over 3!}+...

De uma forma mais geral, ela pode ser definida da seguinte forma:

 f(x)=\sum_{n=0}^{ \infty} {f^{(n)}(a)  (x-a)^n \over n!}

Agora perceba que quando a=0 temos uma modificação na estrutura da série:

 f(x)= f(0)(x-0)^0+{f'(0)(x-0)^1 \over 1!}+{f''(0)(x-0)^2 \over 2!}+{f'''(0)(x-0)^3 \over 3!}+...

Logo:

 f(x)= f(0)+{f'(0)\ x^1 \over 1!}+{f''(0)\ x^2 \over 2!}+{f'''(0)\ x^3 \over 3!}+...

Escrevendo a Série da Maclaurin de uma forma geral, definimos ela como:

 f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty} {f^{(n)}(0)\ x^n \over n!}

Série de Maclaurin para sen(x)[editar | editar código-fonte]

Vamos começar pela série do sen(x). O primeiro passo para se obter tal série é fazer as derivadas do sen(x). Iremos fazer inúmeras derivas, afim de obter um erro relativo pequeno. Temos que:

f(x)=sen(x)\Rightarrow f(0)=sen(0)=0

Derivadas:[editar | editar código-fonte]

f'(x)=cos(x)\Rightarrow f'(0)=cos(0)=1


f''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''(0)=-sen(0)=-0=0


f'''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''(0)=-cos(0)=-1


f''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''(0)=sen(0)=0


f'''''(x)=cos(x)\Rightarrow f'''''(0)=cos(0)=1


f''''''(x)=-sen(x)\Rightarrow f''''''(0)=-sen(0)=-0=0


f'''''''(x)=-cos(x)\Rightarrow f'''''''(0)=-cos(0)=-1


f''''''''(x)=sen(x)\Rightarrow f''''''''(0)=sen(0)=0


f'''''''''(x)=cos(x)\Rightarrow  f'''''''''(0)=cos(0)=1


Tendo calculado várias derivadas, vamos começar a substituição na série:


f(x)=f(0)+{f'(0)\ x^1 \over 1!}+{f''(0)\ x^2 \over 2!}+{f'''(0)\ x^3 \over 3!}+{f''''(0)\ x^4 \over 4!}+{f'''''(0)\ x^5 \over 5!}+{f''''''(0)\ x^6 \over 6!}+{f'''''''(0)\ x^7 \over 7!}+{f''''''''(0)\ x^8 \over 8!}+{f'''''''''(0)\ x^9 \over 9!}


Agora veja que as derivas f''(0),\ f''''(0),\  f''''''(0), f''''''''(0) tem resultado igual à zero, e que quando substituídas na série vão zerar seus termos, já que estamos multiplicando algo por zero. Veja um exemplo abaixo:


f(x)=...+{f''(0)\ x^2 \over 2!}... \Rightarrow {0.x^2 \over 2!} \Rightarrow {0 \over 2!}=0


Assim podemos reduzir a série removendo os termos que contém x elevado à uma potência par. Agora substituindo as outras derivadas na parte restante da série temos:


f(x)\cong \left ( {1.x^1 \over 1!} \right)+ \left ( {-1.x^3 \over 3!} \right)+ \left ( {1.x^5 \over 5!} \right)+ \left ( {-1.x^7 \over 7!} \right)+ \left ( {1.x^9 \over 9!} \right)


Fazendo a multiplicação do sinais negativos e simplificando alguns expoentes:


f(x)\cong x\ -{x^3 \over 3!}+\ {x^5 \over 5!}\ -{x^7 \over 7!}+\ {x^9 \over 9!}


Pronto, a série que forma o sen(x), ela também pode ser escrita de uma forma reduzida:


f(x)=sen(x)\cong \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n {x^{2n+1} \over (2n+1)!}

Série de Maclaurin para cos(x)[editar | editar código-fonte]

Para determinarmos a série do cos(x) faremos o mesmo processo, calcular as derivadas e substituir na série.

f(x)=cos(x) \Rightarrow f(0)=cos(0)=1

Derivadas:[editar | editar código-fonte]

f'(x)=-sen(x) \Rightarrow f'(0)=-sen(0)=-0=0


f''(x)=-cos(x) \Rightarrow f''(0)=-cos(0)=-1


f'''(x)=sen(x) \Rightarrow f'''(0)=sen(0)=0


f''''(x)=cos(x) \Rightarrow f''''(0)=cos(0)=1


f'''''(x)=-sen(x) \Rightarrow f'''''(0)=-sen(0)=-0=0


f''''''(x)=-cos(x) \Rightarrow f''''''(0)=-cos(0)=-1


f'''''''(x)=sen(x) \Rightarrow f'''''''(0)=sen(0)=0


f''''''''(x)=cos(x) \Rightarrow f''''''''(0)=cos(0)=1


f'''''''''(x)=-sen(x) \Rightarrow f'''''''''(0)=-sen(0)=-0=0


Podemos ver que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero, logo os termos da série com x elevado a alguma potência ímpar não precisa ser escrito, já que ele vai ser 0, e como sabemos o 0 é um elemento neutro da soma.Dessa forma, a série fica com essa forma:


f(x)\cong {f(0).x^0 \over 0!}+{f''(0).x^2 \over 2!}+{f''''(0).x^4 \over 4!}+{f''''''(0).x^6 \over 6!}+{f''''''''(0).x^8 \over 8!}


Substituindo os valores das derivadas e da f(0) na série obtemos:


f(x)\cong {1.x^0 \over 0!}+{(-1).x^2 \over 2!}+{1.x^4 \over 4!}+{(-1).x^6 \over 6!}+{1.x^8 \over 8!}

Agora fazendo a multiplicação e simplificando o 1° termo:


f(x)\cong 1-{x^2 \over 2!}+{x^4 \over 4!}-{x^6 \over 6!}+{x^8 \over 8!}

Ou:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n.x^{2n} \over 2n!}


Referências

  1. Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company
  2. Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor
  3. Série de Taylor
  4. Notas de Aula MatLab Série, limite, equação diferencial
  5. Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 (em inglês)
  6. Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 (em inglês)
  7. Amos Gilat, Vish Subramaniam, Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB, Bookman, 2008 ISBN 8-577-80297-3
  8. Steven C. Chapra e Raymond P. Canale, Métodos Numéricos para Engenharia, McGraw Hill Brasil, 2011 ISBN 8-580-55011-4
  9. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  10. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  11. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC 13481133 (em alemão)
  2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
  3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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