Série de Taylor

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Em matemática, uma série de Taylor é a série de funções da forma:

,

onde é uma função analítica dada. Neste caso, a série acima é dita ser a série de Taylor de em torno do ponto . Associadamente, o polinômio de Taylor de ordem em torno de de uma dada função -vezes diferenciável neste ponto é dado por:[1][2][3][4][5][6][7][8]

No caso particular de , série acima também é chamada de Série de Maclaurin ou, quando for o caso, de polinômio de Maclaurin.

Tais séries recebem seu nome em homenagem a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d'Alembert. O nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l'Huillier.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Toda série de Taylor possui um raio de convergência com a propriedade que a série converge uniformemente em cada bola (circunferência) .

A fórmula de Hadamard fornece o valor deste raio de convergência:

O fato de a série de Taylor convergir não garante que ela convergirá para o valor da função f(x); o exemplo clássico desta patologia é a função definida por:

cuja série de Taylor é :

Série de Taylor associada a uma função[editar | editar código-fonte]

Função seno de x e aproximações de Taylor com polinômios de grau 1, 3, 5, 7, 9, 11 e 13.[9]

A série de Taylor associada a uma função infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto ]ar, a + r[ é a série de potências dada por

Onde, n! é o fatorial de n e f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns[editar | editar código-fonte]

Função exponencial e logaritmo natural:

[10]

Série geométrica:

Teorema binomial:

Funções trigonométricas:

onde Bs são números de Bernoulli.

Funções hiperbólicas:

Função W de Lambert:

Série de Taylor em várias variaveis[editar | editar código-fonte]

A série de Taylor pode também ser definida para funções de .

Nesse caso, tem-se que a série de Taylor de em torno do ponto é dada por:

onde denota

Ou seja, tem-se:

No caso particular ,

[11]

Série de Maclaurin[editar | editar código-fonte]

A Série de Maclaurin é, basicamente, um caso especial da Série de Taylor, na qual a constante "a" adota um valor nulo, ou seja, "a=0".Logo abaixo podemos ver a Série de Taylor:

De uma forma mais geral, ela pode ser definida da seguinte forma:

Agora perceba que quando a=0 temos uma modificação na estrutura da série:

Logo:

Escrevendo a Série da Maclaurin de uma forma geral, definimos ela como:

Série de Maclaurin para sen(x)[editar | editar código-fonte]

Vamos começar pela série do sen(x). O primeiro passo para se obter tal série é fazer as derivadas do sen(x). Iremos fazer inúmeras derivas, afim de obter um erro relativo pequeno. Temos que:

Derivadas:[editar | editar código-fonte]










Tendo calculado várias derivadas, vamos começar a substituição na série:



Agora veja que as derivas tem resultado igual à zero, e que quando substituídas na série vão zerar seus termos, já que estamos multiplicando algo por zero. Veja um exemplo abaixo:



Assim podemos reduzir a série removendo os termos que contém x elevado à uma potência par. Agora substituindo as outras derivadas na parte restante da série temos:



Fazendo a multiplicação do sinais negativos e simplificando alguns expoentes:



Pronto, a série que forma o sen(x), ela também pode ser escrita de uma forma reduzida:


Série de Maclaurin para cos(x)[editar | editar código-fonte]

Para determinarmos a série do cos(x) faremos o mesmo processo, calcular as derivadas e substituir na série.

Derivadas:[editar | editar código-fonte]










Podemos ver que as derivadas primeira, terceira, quinta, sétima e nona são iguais à zero, logo os termos da série com x elevado a alguma potência ímpar não precisa ser escrito, já que ele vai ser 0, e como sabemos o 0 é um elemento neutro da soma.Dessa forma, a série fica com essa forma:



Substituindo os valores das derivadas e da f(0) na série obtemos:


Agora fazendo a multiplicação e simplificando o 1° termo:


Ou:


Referências

  1. Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company
  2. Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor
  3. Série de Taylor
  4. Notas de Aula MatLab Série, limite, equação diferencial
  5. Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 (em inglês)
  6. Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 (em inglês)
  7. Amos Gilat, Vish Subramaniam, Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas: Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB, Bookman, 2008 ISBN 8-577-80297-3
  8. Steven C. Chapra e Raymond P. Canale, Métodos Numéricos para Engenharia, McGraw Hill Brasil, 2011 ISBN 8-580-55011-4
  9. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  10. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  11. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Heinrich Auchter. Brook Taylor, der mathematiker und philosoph; beiträge zur wissenschaftsgeschichte der zeit des Newton-Leibniz-streites,. Würzburg, K. Triltsch, 1937. OCLC 13481133 (em alemão)
  2. Edmundo Capelas de Oliveira, Funções Especiais com Aplicações, Editora Livraria da Fisica ISBN 8-588-32542-X
  3. Steven C. Chapra, Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e Cientistas - 3.ed. McGraw Hill Brasil, 2013 ISBN 8-580-55177-3

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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