Regra do quociente

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Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Pode ser apresentada como:

 \left(\frac{f}{g}\right)'= \frac{gf'-fg'}{g^2}

ou, segundo a notação de Leibniz:

 \frac{d}{dx}\left( \frac{u}{v} \right)= \frac {v \frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}.

Demonstração:

f(x) =  \frac{u(x)}{v(x)} (I)

Então u(x) = f(x).v(x)

Pela regra do produto:

u'(x) = f'(x).v(x) + f(x).v'(x) (II)

Utilizando (I) e (II), temos:

u'(x) = f'(x).v(x)+ \frac{u(x)}{v(x)}.v'(x)

u'(x) = \frac{f'(x).v(x).v(x)+ u(x).v'(x)}{v(x)}

u'(x).v(x) = f'(x).v(x).v(x) + u(x).v'(x)

u'(x).v(x) - u(x).v'(x) = f'(x).v(x).v(x)

\frac{(u'(x).v(x) - u(x).v'(x)}{v(x)^2} = f'(x)

f'(x) =  \frac{u'v-v'u}{v^2}

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