Teste da comparação

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O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

Então se , para todo o (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se , então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

2º critério da comparação[editar | editar código-fonte]

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

  • se as séries e têm a mesma natureza.
  • se
(a) se converge, então converge
(b) se diverge, então diverge
  • se
(a) se converge, então converge
(b) se diverge, então diverge

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

é uma seqüência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

Queremos mostrar que é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

Use a desigualdade triangular:

Sendo uma sucessão de Cauchy, também o é.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Seja a série fatorial que define o número de Euler: Denote por e as somas parciais e o resíduo de ordem N:

Vamos mostrar que a série convege e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

Como

Assim comparamos:

Usanda a soma da série geométrica, temos: