Número de Euler

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Disambig grey.svg Nota: Se procura constante de Euler, veja constante de Euler.

  Parte de uma série de artigos sobre
a constante matemática e

Euler's formula.svg

Logaritmo natural · Função exponencial

Aplicações em: juros compostos · identidade de Euler & fórmula de Euler  · meia-vida & crescimento/decaimento exponencial

Definindo e: Prova de irracionalidade do número de Euler  · representações de e · teorema de Lindemann–Weierstrass

Pessoas John Napier  · Leonhard Euler

conjectura de Schanuel

Retrato de Leonhard Euler (autoria de Johann Georg Brucker).

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, número de Neper[1], constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações menos triviais de [editar | editar código-fonte]

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:

O número pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função (função exponencial de base ) pode ser representada da seguinte forma:

,

assim, por exemplo, tem-se :

ou ainda

Outra maneira de se encontrar o valor de é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

Ou, de forma mais simplificada (sequência A003417 na OEIS):

que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam já foram desenvolvidas.

O Número no Cálculo[editar | editar código-fonte]

A função exponencial tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

Isto significa que tem a notável propriedade de que a taxa de variação de no ponto x = t vale . Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções , também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir como sendo o único número maior que zero tal que:

Mais Sobre [editar | editar código-fonte]

O número é um número irracional e transcendente (como pi). A irracionalidade de foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

que, por sua vez, advém da série de Taylor para .

Leonhard Euler começou a usar a letra para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a .

como séries infinitas[editar | editar código-fonte]

Dentre as várias séries infinitas que resultam em , têm-se, além da trivial:

como limites e produtos infinitos[editar | editar código-fonte]

Os produtos infinitos

e

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

com os primeiros 510 dígitos decimais[editar | editar código-fonte]

Exemplos de código para o cálculo de [editar | editar código-fonte]

/*Código em C para calcular número de Euler, com n tendendo à 10^6.
Utiliza-se a expressão de Jakob Bernoulli neste caso.*/

#include <stdio.h>

  int main() {

    int contador = 1, exp = 1;
    double y, aux = 1, n = 1;

    do {
      y = (1 + (1 / n));

      while (exp <= contador) {
        aux = y * aux;
        exp++;
      }

      exp = 1;
      printf("\n      %.100lf \n\n\n ", aux);

      contador++;
      aux = 1;
      n++;

    } while (contador <= 1000000);

    return 0;
  }

Na Linguagem C++:

/* Código em C++ para calcular a precisão do número de Euler, onde n é a precisão 
a qual o número de Euler será calculado. */

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	
	int fatorial;
	float somatorio = 0;
	
	for (int i = 0; i < n; ++i){
		if (i == 0)
			fatorial = 1;
		else{		
			fatorial = i;
			for (int cont = i - 1; cont > 0 ; --cont){
				fatorial = fatorial * cont;
			}
		}
		somatorio += (1/double(fatorial));
	}
	
	cout << double(somatorio) << endl;

	return 0;
}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


  1. «Número de Neper»