Pontos extremos de uma função

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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Ponto crítico (funções). Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde junho de 2012)
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Foi proposta a fusão deste artigo ou se(c)ção com Ponto crítico (sistemas dinâmicos). Pode-se discutir o procedimento aqui. (desde junho de 2012)
Esta função tem um mínimo global em x=-3, um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2.

Em matemática em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que e valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio e tais que:

, para todo no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Exemplos[1] [editar | editar código-fonte]

  • definida na reta admite um mínimo em mas não admite máximo.
  • definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Seja uma função real diferenciável em um domínio contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

Podemos supor que é suficientemente pequeno de forma que . O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-25.