Pontos extremos de uma função

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Esta função tem um mínimo global em x=-3, um máximo local em x=0 e um mínimo local em x=2.

Em matemática em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que e valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio e tais que:

, para todo no domínio.

Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo.

Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma função real f definida num domínio X tem um ponto máximo global em x* se f(x*)  f(x) para todo x em X. Similarmente, a função tem um ponto mínimo global em x* se f(x*)  f(x) para todo x em X.

O valor da função no ponto máximo é chamado de valor máximo da função e o valor da função no ponto mínimo é chamado de valor mínimo da função.

Se o domínio X é um espaço métrico então f tem um ponto máximo local no ponto x* se existir algum Ɛ 0  de modo que f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Similarmente, a função tem um ponto mínimo local no x* se f(x*)  f(x) para todo x em X dentro da distância Ɛ de x*. Uma definição similar pode ser usada quando X é um espaço topológico, desde que a definição possa somente ser reescrita em termos de sua vizinhança. Note que um ponto máximo global é sempre um ponto máximo local, e igualmente para pontos mínimos.

Uma função contínua real com um domínio compacto sempre tem um ponto máximo e mínimo. Um importante exemplo é uma função cujo domínio é um intervalo fechado de números reais (e limitado)  (veja o gráfico acima).

Máximos e mínimos[editar | editar código-fonte]

Encontrar o máximo e mínimo global é o objetivo da otimização matemática. Se uma função é contínua em um intervalo fechado, então o teorema do valor extremo máximo e mínimo global existe. Além disso, o máximo global (ou mínimo) também pode ser um máximo local (ou mínimo) no interior do domínio, ou deve estar no limite do domínio. Então o método de encontrar o máximo global (ou mínimo) é através de todo máximo local (ou mínimo) no inteiro e também nos pontos máximos (ou mínimos) dos limites, e admitir o maior ou menor.

O extremo local de uma função diferenciável pode ser encontrada através do teorema de Fermat, em que encontra os pontos críticos. Um modo é distinguir aonde o ponto critico é máximo local ou mínimo local usando o teste da primeira derivada, ou o teste de várias derivadas, dando uma suficiente diferenciabilidade.

Funções com mais de uma variável [editar | editar código-fonte]

Peano surface, um contraexemplo para o critério de máximo local do século 19

Para funções de mais do que uma variável as mesmas condições se aplicam. Por exemplo, na figura a direita, a condição necessária para o máximo local são similares a utilizadas para uma função com somente uma variável. A primeira derivada parcial em z (a varival a ser maximizada) é zero no máximo. A segunda derivada parcial é negativa. Isto é necessário porém não é uma condição suficiente para um máximo local porque há a possibilidade de um ponto mínimo. Para resolver essas condições para o máximo, a função z tem que ser completamente diferenciável. O teste da segunda derivada parcial pode ajudar classificar o ponto em que é  máximo relativo ou mínimo relativo. Em contraste, há diferenças entre funções de uma variável e funções de mais do que uma variável na identificação do extremo global. Por exemplo, se um limite de uma função diferenciável f definidade em um intervalo fechado na linha dos reais tem um único ponto crítico, no qual é um mínimo local, então este é também um mínimo global (usando o Teorema do valor intermediário e o Teorema de Rolle prova isto por redução pelo absurdo). Em duas ou mais dimensões, estes argumentos falham, como a função mostra

O ponto critico é (0,0) no qual é o mínimo local com f(0,0) = 0. No entanto, este não pode ser um global, porque f(2,3) = -5.

Exemplos[1][editar | editar código-fonte]

  • definida na reta admite um mínimo em mas não admite máximo.
  • não tem mínimo ou máximo global. Entretanto a primeira derivada (3x²) é 0 em x=0, este é um ponto de inflexão.
  • tem um mínimo global em x=0 que não pode ser encontrado pelas derivadas, porque a derivadas não existe em x=0.
  • definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.
  • definida na reta admite infinitos pontos de máximo e infinitos pontos de mínimo.

Pontos críticos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Seja uma função real diferenciável em um domínio contido nos reais. Então todo ponto de máximo ou de mínimo local é também um ponto crítico da função, ou seja, sua derivada é nula.

Para demonstração isso, seja um ponto de máximo local, a derivada é dada por:

Podemos supor que é suficientemente pequeno de forma que . O que nos permite concluir, usando a existência do limite:

A demonstração no caso de um ponto de mínimo é análoga.

Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 25 de março de 2016 

Ver também[editar | editar código-fonte]