Multiplicadores de Lagrange

Figura 1: Encontrar $x$ e $y$ que maximizem $f(x,y)$ sujeito a uma condição (a vermelho) $g(x,y)=c.$

Figura 2: Curva de nível da Figura 1. A linha a vermelho indica a restrição $g(x,y)=c.$ As linhas azuis são os contornos de $f(x,y).$ A solução ocorre no ponto em que as linhas vermelha e azul se tocam tangencialmente.

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições.

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização

maximize $f(x,y),$ ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função

sujeito a $g(x,y)=c.$

O método consiste em introduzir uma variável nova ($\lambda ,$ normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:

$\Lambda (x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot {\Big (}g(x,y)-c{\Big )},$

Nesta função, o termo $\lambda$ pode ser adicionado ou subtraído. Se $f(x,y)$ é um ponto de máximo para o problema original, então existe um $\lambda$ tal que $(x,y,\lambda )$ é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de $\Lambda$ são iguais a zero.

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição.

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

Definição

Considere uma função de $n$ variáveis $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad$e $m$ funções de restrição $g_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\quad ...\quad g_{m}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum $i$ para o qual $\nabla g_{i}(x)\neq 0$, se $f$ tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto $P(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*}),$ tal que $P$ pertença a uma superfície de restrição de $f$ na qual a seguinte condição seja satisfeita:

$\nabla f(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})=\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*})$

$\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \,\lambda _{m})$ são os multiplicadores de Lagrange.

A solução recai em resolver um sistema com $n+m$ equações (as $n$ equações obtidas pela diferenciação, e as $m$ restrições $g_{i}$) e $n+m$ incógnitas (a coordenada de $P$ no espaço de $n$ dimensões e os $m$ multiplicadores de Lagrange).

Utilização

O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

Exemplo

A função potencial gravitacional em relação a um corpo celeste: $P(x,y,z)={\frac {-GM}{r}}$ , onde $r=[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}+(z-z_{i})^{2}]^{\frac {1}{2}}$ e $(x_{i},y_{i},z_{i})$ são as coordenadas do centro do corpo celeste.

O problema é: a uma dada distância da Terra e da Lua, ou seja, fixando-se os potenciais gravitacionais relativos a esses 2 corpos, deseja-se saber qual o ponto em que a energia potencial gravitacional gerada pela massa do Sol é máxima (ou mínima).

A figura abaixo mostra a situação, onde os centros dos 3 corpos estão no plano da tela, As superfícies esféricas equipotenciais da Terra e da Lua aparecem como círculos no plano da tela. Sua intercessão é um círculo num plano normal à tela, que a cruza nos pontos $A$ e $B$. Esses pontos são a solução do problema, pois um é o mais próximo e o outro é o mais distante do Sol, entre todo o conjunto de pontos desse círculo de intercessão das superfícies.

Qual a relação com os multiplicadores de Lagrange? Basta lembrar que a aceleração da gravidade é o gradiente do potencial gravitacional, e ela aponta para os centros dos corpos. Em geral, ao longo do círculo normal à tela, de intercessão entre as superfícies potenciais da Terra e Lua, esses vetores dirigidos respectivamente para o centro do Sol, da Terra e da Lua são linearmente independentes. Mas nos pontos $A$ e $B$ eles estão no mesmo plano, e um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Portanto pode-se escrever: $a_{s}=\lambda _{1}a_{t}+\lambda _{2}a_{l}$ ou

                     $\nabla P_{s}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{2}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x,y,z)$

onde: $g_{1}=P_{t}(x,y,z)-C_{1}$ e $g_{2}=P_{l}(x,y,z)-C_{2}$

$P_{s}(x,y,z)$ é o potencial gravitacional do Sol, $P_{t}(x,y,z)$ é o da Terra e $P_{l}(z,y,z)$ é o da Lua. Como a restrição são as superfícies equipotenciais, as funções $g_{i}$ são zero para os pontos em que os potenciais são $C_{1}$ e $C_{2}$ respectivamente.

Ver também

• Gradiente

Ligações externas

• http://fma.if.usp.br/~fleming/lagrange/node4.html 
• Texto sobre multiplicadores de lagrange com exemplos como encontrar $\lambda :$